证明 $a_1, a_2, ……. a_n,……$构成一个等差数列，其中$a_n$ 的定义如下
(i) $a_n = 3 + 4n$
(ii) $a_n = 9 - 5n$
并分别求出前15项的和。

待办事项

我们需要证明 $a_1, a_2, ……. a_n,……$构成一个等差数列，并分别求出每种情况下前15项的和。

解答

(i) 这里，

$a_{n}=3+4 n$

这意味着，

$a_{1}=3+4 \times 1$

$=3+4$

$=7$

$a=7$

$a_{2}=3+4 \times 2$

$=3+8$

$=11$

$a_{3}=3+4 \times 3$

$=3+12$

$=15$

这意味着，

$d=a_{2}-a_{1}$

$=11-7$

$=4$

因此，

$a_1, a_2, ……. a_n,……$构成一个等差数列

项数 $=15$

我们知道，

$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$S_{15}=\frac{15}{2}[2 a+(15-1) d]$

$=\frac{15}{2}[2 \times 7+(15-1) \times 4]$

$=\frac{15}{2}[14+14 \times 4]$

$=\frac{15}{2}[14+56]$

$=\frac{15}{2} \times 70$

$=15 \times 35$

$=525$

前15项的和是 $525$。 

(ii) 为了找到给定的序列，我们必须将 $n=1, 2, 3.....$ 代入 $a_n=9-5n$。

因此，

$a_1=9-5(1)$

$=9-5$

$=4$

$a_2=9-5(2)$

$=9-10$

$=-1$

$a_3=9-5(3)$

$=9-15$

$=-6$

$a_4=9-5(4)$

$=9-20$

$=-11$

形成的序列是 $4, -1, -6, -11,.....$。

为了使给定的序列构成等差数列，任何两项之差都必须相等。

这里，

$d=a_2-a_1=-1-4=-5$

$d=a_3-a_2=-6-(-1)=-6+1=-5$

$d=a_4-a_3=-11-(-6)=-11+6=-5$

这意味着，

$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=d$

因此，给定的序列构成一个等差数列。 

$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$S_{15}=\frac{15}{2}[2 a+(15-1) d]$

$=\frac{15}{2}[2 \times 4+(15-1) \times (-5)]$

$=\frac{15}{2}[8+14 \times (-5)]$

$=\frac{15}{2}[8-70]$

$=\frac{15}{2} \times (-62)$

$=15 \times (-31)$

$=-465$

前15项的和是 $-465$。 

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更新于：2022年10月10日

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