证明 $a_1, a_2, ……. a_n,……$ 构成一个等差数列，其中 $a_n$ 定义如下
$a_n = 9 - 5n$
并分别求出前 15 项的和。

已知

$a_n=9-5n$

要求

我们需要证明 $a_1, a_2, ……. a_n,……$ 构成一个等差数列，并求出前 15 项的和。

解

为了找到该数列，我们需要将 $n=1, 2, 3.....$ 代入 $a_n=9-5n$。

因此，

$a_1=9-5(1)$

$=9-5$

$=4$

$a_2=9-5(2)$

$=9-10$

$=-1$

$a_3=9-5(3)$

$=9-15$

$=-6$

$a_4=9-5(4)$

$=9-20$

$=-11$

得到的数列是 $4, -1, -6, -11,.....$。

为了使该数列构成等差数列，任意两个连续项之间的差必须相等。

这里，

$d=a_2-a_1=-1-4=-5$

$d=a_3-a_2=-6-(-1)=-6+1=-5$

$d=a_4-a_3=-11-(-6)=-11+6=-5$

这意味着，

$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=d$

因此，该数列构成一个等差数列。 

$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$S_{15}=\frac{15}{2}[2 a+(15-1) d]$

$=\frac{15}{2}[2 \times 4+(15-1) \times (-5)]$

$=\frac{15}{2}[8+14 \times (-5)]$

$=\frac{15}{2}[8-70]$

$=\frac{15}{2} \times (-62)$

$=15 \times (-31)$

$=-465$

前 15 项的和为 $-465$。 

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更新于: 2022年10月10日

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