戴维南定理和戴维南等效电路
戴维南定理用于确定任何一个电路元件上的电流或电压,而无需通过求解复杂的网络方程组。
戴维南定理的陈述
任何一个双端双向线性直流电路都可以用一个等效电路来代替,该等效电路由一个电压源串联一个电阻组成,电压源等于开路负载端子上的开路电压,电阻等于从开路负载端子看进去的电源网络的内阻。
戴维南定理的解释
步骤 1 – 去除负载电阻 (RL) 并找到开路负载端子上的开路电压 (VOC = VTh)。
$$\mathrm{\mathit{V}_{rh}=\mathit{IR}_{3}=\mathit{V}_{s}\frac{\mathit{R}_{3}}{\mathit{R}_{1}+\mathit{R}_{3}}}$$
其中,I 是流过电阻 R1 和 R3 的闭环电流。
步骤 2 - 使恒定电源失效(对于电压源,通过其内阻去除,对于电流源,用开路代替电源)并找到从开路负载端子看进去的内阻 (RTh)。
$$\mathrm{\mathit{R}_{Th}=\frac{\mathit{R}_{1}\mathit{R}_{3}}{\mathit{R}_{1}+\mathit{R}_{3}}+\mathit{R}_{2}}$$
步骤 3 获得戴维南等效电路,将 RTh 与 VTh 串联。将负载电阻 (RL) 重新连接到负载端子上。然后,求出负载电流。
这里,负载电流 (IL) 通过 RL 给出为:
$$\mathrm{\mathit{I}_{L}=\frac{\mathit{V}_{rh}}{\mathit{R}_{Th}+\mathit{R}_{L}}}$$
求戴维南等效电阻 (RTh) 的方法
对于独立电源 – 包含独立电流源或电压源的任何线性双向网络的 RTh 可以通过使用其内阻使电源失效来确定,即对于独立理想电压源,通过短路使其失效,对于独立理想电流源,通过去除电源使其失效。然后,找到从开路负载端子看进去的网络内阻。
对于包含从属电源或独立电源或两者兼而有之的电路
第一种方法 求出开路负载端子上的 VTh。接下来,短路负载端子并确定通过短路端子的短路电流 (ISC)。内阻或戴维南等效电阻由下式给出:
$$\mathrm{\mathit{R}_{Th}=\frac{\mathit{V}_{rh}}{\mathit{I}_{sc}}}$$
第二种方法 - 去除负载电阻并在开路负载端子上施加一个直流测试电压 (VT)。在此期间,保持其他独立电源失效。由于施加了 VT,直流电流 (IT) 将从负载端子流入电路。源网络的内阻或戴维南等效电阻获得为:
$$\mathrm{\mathit{R}_{Th}=\frac{\mathit{V}_{T}}{\mathit{I}_{T}}}$$
数值例子
使用戴维南定理,求下图中 10 Ω 电阻中的电流。已知电池内阻为 2 Ω。
解决方案
步骤 1 – 去除负载电阻并确定负载端子上的开路电压 (VTh)。
这里,当 10 Ω 电阻被移除时,在 4 Ω 上没有电压降,VTh 将是出现在 6 Ω 电阻上的电压。因此,
$$\mathrm{\mathit{I}=\frac{50}{2+5+6}=\frac{50}{13}=3.846\:A}$$
当 10 Ω 电阻被移除时,在 4 Ω 电阻上没有电压降,VTh 将是出现在 6 Ω 电阻上的电压。因此,
$$\mathrm{\mathit{V}_{Th}=\mathit{I}×6=3.846×6=23.076\:V}$$
步骤 2 – 要找到 RTh,请使所有独立电源失效。如,
$$\mathrm{\mathit{R}_{xy}=(5+2)||6=\frac{7×6}{7+6}=3.23\:Ω}$$
$$\mathrm{\mathit{R}_{Th}=\mathit{R}_{xy}+4=3.23+4=7.23 \:Ω}$$
步骤 3 – 构造戴维南等效电路并将负载电阻重新连接以计算负载电流,如,
$$\mathrm{\mathit{I}_{L}=\frac{\mathit{V}_{rh}}{\mathit{R}_{rh}+\mathit{R}_{L}}=\frac{23.076}{7.23+10}=1.339\:A}$$