等腰三角形的面积

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引言

等腰三角形的面积是指等腰三角形三条边所包围的平面区域的大小。它表示在二维空间中等腰三角形所包围的面积。计算等腰三角形面积的常用公式是三角形底乘以高的一半。本教程将详细解释等腰三角形的面积、公式及其推导，并附带一些例题，帮助你更好地理解这个主题。等腰三角形是根据边长分类的一种三角形，它有两条边或两个角相等。在本教程中，我们将学习等腰三角形的面积。

等腰三角形

在几何学中，等腰三角形是指有两条边长度相等的三角形。可以定义为恰有两条边长度相等，或至少有两条边长度相等，后一种定义包含正三角形作为特例。等腰三角形的例子包括等腰直角三角形、黄金三角形、双锥体的面以及一些卡塔兰立体。

等腰三角形的面积

等腰三角形占据的整个二维空间被称为它的面积。等腰三角形的面积可以通过多种方法计算，具体取决于已知的等腰三角形的元素。以下是使用高计算等腰三角形面积的基本公式：

$$\mathrm{面积=\frac{1}{2}×底×高}$$

在上图三角形ABC中，BC是底，AD是高。

在上图三角形ABC中，BC是底，AD是高。

为了求出高，我们使用勾股定理如下：

$$\mathrm{DC^2+AD^2=AC^2}$$

$$\mathrm{\frac{a^2}{4}+AD^2=b^2}$$

$$\mathrm{AD^2=\frac{4b^2-a^2}{4}}$$

所以，

$$\mathrm{AD=\frac{1}{2} \sqrt{4b^2-a^2 }}$$

因此，三角形的面积由下式给出：

$$\mathrm{面积=\frac{1}{2}×底×高}$$

$$\mathrm{面积=\frac{1}{2}×a×\frac{1}{2} \sqrt{4b^2-a^2 }=\frac{1}{4} a\sqrt{4b^2-a^2 }}$$

例题

1)等腰三角形的周长为60厘米。如果其中一条等边长为20厘米，则求不等边的长度。

答案

设a,a & b为等腰三角形的三个边长，则：

$$\mathrm{a+a+b=60}$$

$$\mathrm{2a+b=60}$$

$$\mathrm{2(20)+b=60}$$

$$\mathrm{b=60-40=20}$$

因此，不等边的长度为20厘米。

2)一条等边长为3厘米，底边长为6厘米的等腰三角形的面积是多少？

答案

使用公式 $\mathrm{面积=\frac{1}{4} a\sqrt{4b^2-a^2}}$，我们得到：

$$\mathrm{面积=\frac{1}{4}×3×\sqrt{4(6)^2-3^2}=\frac{3×\sqrt{135}}{4}=\frac{9\sqrt{15}}{4} \:平方厘米}$$

3)等腰三角形的底边为7，其中一条等边为5。三角形的周长是多少？

答案

设a,a & b为等腰三角形的三个边长，则：

$$\mathrm{a+a+b=P}$$

$$\mathrm{2a+b=P}$$

$$\mathrm{2(5)+7=P}$$

$$\mathrm{P=10+7=17}$$

因此，等腰三角形的周长为17厘米。

4)如果等腰三角形的底边为18厘米，高为9厘米，则求其面积。

答案：等腰三角形的面积由下式给出：

$$\mathrm{面积=\frac{1}{2}×底×高}$$

$$\mathrm{面积=\frac{1}{2}×18×9=9×9=81\: 平方厘米}$$

5)求面积为100平方厘米，底边为16厘米的等腰三角形的高。

答案：等腰三角形的面积由下式给出：

$$\mathrm{面积=\frac{1}{2}×底×高}$$

$$\mathrm{100=\frac{1}{2}×16×高}$$

$$\mathrm{高=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}厘米}$$

因此，给定等腰三角形的高为12.5厘米

6)求面积为100平方厘米，高为16厘米的等腰三角形的底边。

答案

等腰三角形的面积由下式给出：

$$\mathrm{面积=\frac{1}{2}×底×高}$$

$$\mathrm{100=\frac{1}{2}×底边×16}$$

$$\mathrm{底边=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}厘米}$$

因此，等腰三角形的底边为12.5厘米

7)一条等边长为5厘米，底边长为9厘米的等腰三角形的面积是多少？

答案：使用公式 $\mathrm{面积=\frac{1}{4} a\sqrt{4b^2-a^2}}$，我们得到

$$\mathrm{面积=\frac{1}{4}×5×\sqrt{4(9)^2-5^2}=\frac{5×\sqrt{315}}{4} \: 平方厘米}$$

8)等腰三角形的底边为11，其中一条等边为10。三角形的周长是多少？

答案：设a,a & b为等腰三角形的三个边长，则：

$$\mathrm{a+a+b=P}$$

$$\mathrm{2a+b=P}$$

$$\mathrm{2(10)+11=P}$$

$$\mathrm{P=20+11=31}$$

因此，等腰三角形的周长为31厘米。

9)等腰三角形的底边为20，其中一条等边为17。三角形的周长是多少？

答案

设a,a & b为等腰三角形的三个边长，则：

$$\mathrm{a+a+b=P}$$

$$\mathrm{2a+b=P}$$

$$\mathrm{2(17)+20=P}$$

$$\mathrm{P=34+20=54}$$

因此，等腰三角形的周长为54厘米。

结论

• 等腰三角形是具有两条相等边长的三角形。

• 等腰三角形的面积可以使用底乘以高的一半的常用公式计算。

• 如果给出等腰三角形的边长，则我们使用以下公式：

  $$\mathrm{面积=\frac{1}{4} a\sqrt{4b^2-a^2}}$$

常见问题解答

1.是什么使等腰三角形独一无二？

等腰三角形有两条相等的边和两个相等的角。名称来源于希腊语iso（相同）和skelos（腿）。等边三角形是所有边都相等的三角形，而不等边三角形是所有边都不相等的三角形。

2.等腰三角形的三个特征是什么？

等腰三角形的特征如下：有两条边相等。等腰三角形的底边指的是三角形的第三条边，它与其他两条边不相等。与相等边相对的两个角相等。

3.关于等腰三角形，哪些总是正确的？

当等腰三角形的两条边相等时，与这两条边相对的角也相等。

4.存在多少种不同的等腰三角形？

等腰三角形通常分为几种类型，包括等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形。

5.所有等腰三角形看起来都一样吗？

由于几个原因，所有等腰三角形彼此之间都是不同的。两条相等边可以有相同的长度，但底边和底角以及两条相等边之间夹角的度数会发生变化。

6.等腰三角形的五个特征是什么？

等腰三角形的性质如下：

• 它有两条长度相同的边。

• 等边相对角的度数相同。

• 从顶点A到底边BC的高是底边BC的垂直平分线。

• 顶角A的角平分线是从顶点A到底边BC的高。

7.等腰三角形的边可以相等吗？

由于每个等边三角形也是等腰三角形，因此任何两条相等的边都有相等的对应角。

8.什么是锐角等腰三角形？

根据定义，锐角等腰三角形没有角度大于90度，至少有两条全等的边和至少两个对应的角。

9.等腰三角形结实吗？

等边三角形和等腰三角形是自然界中最坚固的三角形，因为它们都有相等的边长。长度应该相等的是中间以90度角相遇的两条边。