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待办事项：我们必须证明是否可以认为给定的项是等差数列的第 \( n \) 项。解答：(i) 要检查由 $a_n = 2n-3$ 定义的序列是否是等差数列，我们必须检查任意两个连续项之间的差是否相等。让我们通过代入 $n=1, 2, 3....$ 来找到序列的前几项。当 $n=1$ 时，$a_1=2(1)-3 = 2-3 = -1$；$a_2=2(2)-3 = 4-3 = 1$；$a_3=2(3)-3 = 6-3 = 3$；$a_4=2(4)-3 = 8-3 = 5$。这里，$a_2-a_1=1-(-1)=2$；$a_3-a_2=3-1=2$；$a_4-a_3=5-3=2$。因此，给定的序列是一个等差数列。(ii) 要检查由 $a_n = 3n^2 + 5$ 定义的序列是否是等差数列，我们必须检查…… 阅读更多
已知：$a_n = 3n^2 + 5$ 待办事项：我们必须证明是否可以认为 \( 3n^2+5 \) 是等差数列的第 \( n \) 项。解答：要检查由 $a_n = 3n^2 + 5$ 定义的序列是否是等差数列，我们必须检查任意两个连续项之间的差是否相等。让我们通过代入 $n=1, 2, 3....$ 来找到序列的前几项。当 $n=1$ 时，$a_1=3(1)^2+5=8$；$a_2=3(2)^2+5=17$；$a_3=3(3)^2+5=32$；$a_4=3(4)^2+5=53$。这里，$a_2-a_1=17-8=9$；$a_3-a_2=32-17=15$；$a_4-a_3=53-32=21$。$a_2-a_1≠a_3-a_2≠a_4-a_3$。因此，给定的序列不是等差数列。阅读更多
已知：$a_n = 1 + n + n^2$ 待办事项：我们必须证明是否可以认为 $a_n = 1 + n + n^2$ 是等差数列的第 \( n \) 项。解答：要检查由 $a_n = 1 + n + n^2$ 定义的序列是否是等差数列，我们必须检查任意两个连续项之间的差是否相等。让我们通过代入 $n=1, 2, 3....$ 来找到序列的前几项。当 $n=1$ 时，$a_1=1+1+(1)^2=3$；$a_2=1+2+(2)^2=7$；$a_3=1+3+(3)^2=13$；$a_4=1+4+(4)^2=21$。这里，$a_2-a_1=7-3=4$；$a_3-a_2=13-7=6$；$a_4-a_3=21-13=8$。$a_2-a_1≠a_3-a_2≠a_4-a_3$。因此，给定的序列不是等差数列。阅读更多
将A列中给出的等差数列与B列中给出的合适公差进行匹配。
| A列 | B列 |
| \( (A_1) 2, -2, -6, -10, \ldots \)
待办事项：我们必须将A列中给出的等差数列与B列中给出的合适公差进行匹配。解答：\( (A_1) 2, -2, -6, -10, \ldots \) 这里，$a_1=2, a_2=-2, a_3=-6$ 公差 $a_2-a_1=-2-2=-4$；\( (A_2) a=-18, n=10, a_n=0 \) 这里，$a_1=a=-18$；$a_{10}=a+(10-1)d$；$0=-18+9d$；$9d=18$；$d=2$；\( (A_3) a=0, a_{10}=6 \) $a_{10}=a+(10-1)d$；$6=0+9d$；$9d=6$；$d=\frac{2}{3}$；\( (A_4) a_2=13, a_4=3 \) $a_4=a+(4-1)d$；$3=a+3d$ .......(i)；$a_2=a+(2-1)d$；$13=a+d$......(ii) 从(i)中减去(ii)，我们得到，$3-13=a+3d-a-d$；$-10=2d$；$d=-5$ 阅读更多 待办事项：我们必须验证给定的序列是否为等差数列，并写出其接下来的三项。解答：(i) 在给定的序列中，$a_1=0, a_2=\frac{1}{4}, a_3=\frac{1}{2}, a_4=\frac{3}{4}$；$a_2-a_1=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}$；$a_3-a_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$；$a_4-a_3=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。因此，$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3$。给定的序列是一个等差数列。$d=a_2-a_1=\frac{1}{4}$；$a_5=a_4+d=1$；$a_6=a_5+d=\frac{5}{4}$；$a_7=a_6+d=\frac{3}{2}$。给定序列接下来的三项是 $1, \frac{5}{4}$ 和 $\frac{3}{2}$。(ii) 在给定的序列中，$a_1=5, a_2=\frac{14}{3}, a_3=\frac{13}{3}, a_4=4$；$a_2-a_1=\frac{14}{3}-5=-\frac{1}{3}$；$a_3-a_2=\frac{13}{3}-\frac{14}{3}=-\frac{1}{3}$；$a_4-a_3=4-\frac{13}{3}=-\frac{1}{3}$。因此，$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3$。给定的序列是一个等差数列。$d=-\frac{1}{3}$；$a_5=a_4+d=\frac{11}{3}$；$a_6=a_5+d=\frac{10}{3}$；$a_7=a_6+d=3$。给定序列接下来的三项是 $\frac{11}{3}, \frac{10}{3}$ 和 $3$。(iii) 在给定的序列中，$a_1=\sqrt{3}, a_2=2\sqrt{3}, a_3=3\sqrt{3}$；$a_2-a_1=\sqrt{3}$；$a_3-a_2=\sqrt{3}$。因此，$a_2-a_1=a_3-a_2$。给定的序列是一个等差数列。$d=\sqrt{3}$；$a_4=a_3+d=4\sqrt{3}$；$a_5=a_4+d=5\sqrt{3}$；$a_6=a_5+d=6\sqrt{3}$。给定序列接下来的三项是 $4\sqrt{3}, 5\sqrt{3}$ 和 $6\sqrt{3}$。(iv) 在给定的序列中，$a_1=a+b, a_2=(a+1)+b, ... 阅读更多 已知：给定的序列是 \( 5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots \) 待办事项：我们必须验证给定的序列是否为等差数列，并写出其接下来的三项。解答：在给定的序列中，$a_1=5, a_2=\frac{14}{3}, a_3=\frac{13}{3}, a_4=4$；$a_2-a_1=\frac{14}{3}-5=-\frac{1}{3}$；$a_3-a_2=\frac{13}{3}-\frac{14}{3}=-\frac{1}{3}$；$a_4-a_3=4-\frac{13}{3}=-\frac{1}{3}$。因此，$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3$。给定的序列是一个等差数列。$d=-\frac{1}{3}$；$a_5=a_4+d=\frac{11}{3}$；$a_6=a_5+d=\frac{10}{3}$；$a_7=a_6+d=3$。给定序列接下来的三项是 $\frac{11}{3}, \frac{10}{3}$ 和 $3$。阅读更多 已知：给定的二次方程是 \( \frac{1}{2x-3} + \frac{1}{x-5} = 1, x ≠ \frac{3}{2}, 5 \)。待办事项：我们必须确定给定的二次方程是否有实数根。解答：$\frac{1}{2x-3} + \frac{1}{x-5} = 1$；$\frac{x-5+2x-3}{(2x-3)(x-5)}=1$；$\frac{3x-8}{2x^2-13x+15}=1$；$3x-8 = 2x^2-13x+15$；$2x^2-16x+23=0$。将上述二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=2, b=-16$ 和 $c=23$。标准形式二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。因此，$D=(-16)^2-4(2)(23)=256-184=72$。由于 $D>0$，给定的二次方程有两个不同的实数根。这意味着 $x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$；$x=\frac{16\pm\sqrt{72}}{4}=\frac{16\pm6\sqrt{2}}{4}=\frac{8\pm3\sqrt{2}}{2}$。给定二次方程的根是…… 阅读更多 已知：给定的二次方程为 \( x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0 \)。求解：我们必须确定给定的二次方程是否具有实根。解：将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=1, b=5 \sqrt{5}$ 和 $c=-70$。标准形式二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。因此，$D=(5 \sqrt{5})^2-4(1)(-70)$$=125+280$$=405$。由于 $D>0$，给定的二次方程有两个不同的实根。这意味着，$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{-5 \sqrt{5} \pm \sqrt{405}}{2(1)}$ $x=\frac{-5 \sqrt{5}\pm 9\sqrt5}{2}$ $x=\frac{-5 \sqrt{5}+9 \sqrt{5}}{2}$ 或 $x= \frac{-5 \sqrt{5}-9 \sqrt{5}}{2}$$x=\frac{4\sqrt{5}}{2}$ 或 $x=\frac{-14 \sqrt{5}}{2}$$x=2\sqrt5$ 或 $x=-7\sqrt5$给定二次方程的根是 $-7\sqrt5$ 和 $2\sqrt5$。阅读更多 已知：一列火车以均匀的速度行驶 360 公里，如果速度增加 5 公里/小时，则行驶相同距离所需时间将减少 48 分钟。求解：我们必须找到火车的原始速度。解：设火车的原始速度为 $x$ 公里/小时。这意味着，火车以原始速度行驶 360 公里的时间 = $\frac{360}{x}$ 小时火车以比原始速度快 5 公里/小时的速度行驶 360 公里的时间 = $\frac{360}{x+5}$ 小时48 分钟转换为小时 = $\frac{48}{60}$ 小时 (因为 1 小时 = 60 分钟)根据题意，$\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=\frac{48}{60}$$\frac{360(x+5)-360(x)}{(x)(x+5)}=\frac{12\times4}{12\times5}$$\frac{360(x+5-x)}{x^2+5x}=\frac{4}{5}$$5(360)(5)=4(x^2+5x)$ (交叉相乘)$25(90)=x^2+5x$$x^2+5x-2250=0$求解…阅读更多 已知：如果泽巴比她实际年龄小 5 岁，那么她年龄的平方（以年为单位）将比她实际年龄的 5 倍多 11。求解：我们必须找到她现在的年龄。解：设泽巴现在的年龄为 $x$ 岁。这意味着，如果泽巴小 5 岁，她的年龄 = $x-5$ 岁根据题意，$(x-5)^2=5x+11$$x^2-10x+25=5x+11$$x^2-10x-5x+25-11=0$$x^2-15x+14=0$用因式分解法求解 $x$，我们得到，$x^2-14x-x+14=0$$x(x-14)-1(x-14)=0$$(x-14)(x-1)=0$$x-14=0$ 或 $x-1=0$$x=14$ 或 $x=1$泽巴的年龄不可能是 1 岁。因此，$x$ 的值为 14。$x-5=14-5=9$泽巴现在的年龄是 14 岁。阅读更多 广告
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