判断下列方程是否有实数根。如果存在实数根，则求出它们。
\( x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0 \)

已知

已知二次方程为 \( x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0 \)。

需要做的事情

我们需要确定给定的二次方程是否有实数根。

解答

将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，得到：

$a=1, b=5 \sqrt{5}$ 和 $c=-70$。

二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的标准形式的判别式为

$D=b^2-4ac$。

因此，

$D=(5 \sqrt{5})^2-4(1)(-70)$

$=125+280$

$=405$.

由于 $D>0$，给定的二次方程有两个不同的实数根。

这意味着，

$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x=\frac{-5 \sqrt{5} \pm \sqrt{405}}{2(1)}$ 

$x=\frac{-5 \sqrt{5}\pm 9\sqrt5}{2}$ 

$x=\frac{-5 \sqrt{5}+9 \sqrt{5}}{2}$ 或 $x= \frac{-5 \sqrt{5}-9 \sqrt{5}}{2}$

$x=\frac{4\sqrt{5}}{2}$ 或 $x=\frac{-14 \sqrt{5}}{2}$

$x=2\sqrt5$ 或 $x=-7\sqrt5$

给定二次方程的根为 $-7\sqrt5$ 和 $2\sqrt5$。 

更新于: 2022年10月10日

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