判断下列方程是否有实根。如果存在实根，则求出它们。
$\frac{1}{2 x-3}+\frac{1}{x-5}=1, x ≠ \frac{3}{2}, 5$

已知

已知二次方程为$\frac{1}{2 x-3}+\frac{1}{x-5}=1, x ≠ \frac{3}{2}, 5$.

解题步骤

我们必须确定给定的二次方程是否有实根。

解答

$\frac{1}{2 x-3}+\frac{1}{x-5}=1$

$\frac{x-5+2 x-3}{(2 x-3)(x-5)}=1$

$\frac{3 x-8}{2 x^{2}-3x-10 x+15}=1$

$\frac{3 x-8}{2 x^{2}-13x+15}=1$

$3 x-8 =2 x^{2}-13 x+15$

$2 x^{2}-13 x-3 x+15+8 =0$

$2 x^{2}-16x+23=0$

将上述二次方程与二次方程标准形式$ax^2+bx+c=0$比较，得到：

$a=2, b=-16$ 和 $c=23$.

二次方程标准形式$ax^2+bx+c=0$的判别式为

$D=b^2-4ac$.

因此，

$D=(-16)^2-4(2)(23)$

$=256-184$

$=72$

由于 $D>0$，给定的二次方程有两个不同的实根。

这意味着：

$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x=\frac{-(-16) \pm \sqrt{72}}{2(2)}$ 

$x=\frac{16 \pm 6\sqrt{2}}{4}$ 

$x=\frac{2(8+3\sqrt{2})}{4}$ 或 $x= \frac{2(8-3\sqrt{2})}{4}$

$x=\frac{8+3\sqrt{2}}{2}$ 或 $x=\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$

给定二次方程的根是 $\frac{8+3\sqrt{2}}{2}$ 和 $\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$。  

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更新于: 2022年10月10日

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