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求解：我们必须使用列式法求出给定数字的平方，并使用通常的乘法验证结果。解答：(i) 令 $a=2$ 且 $b=5$，$a^2$，$2ab$，$b^2$，$2^2=4$，$2\times2\times5=20$，$5^2=25$，$4+2$(进位)$=6$，$20+2=22$，$(25)^2=25\times25=625$。因此验证。(ii) 令 $a=3$ 且 $b=7$，$a^2$，$2ab$，$b^2$，$3^2=9$，$2\times3\times7=42$，$7^2=49$，$9+4$(进位)$=13$，$42+4=46$，$(37)^2=37\times37=1369$。因此验证。(iii) 令 $a=5$ 且 $b=4$，$a^2$，$2ab$，$b^2$，$5^2=25$，$2\times5\times4=40$，$4^2=16$，$25+4$(进位)$=29$，$40+1=41$，$(54)^2=54\times54=2916$。因此验证。(iv) 令 $a=7$ 且 $b=1$，$a^2$，$2ab$，$b^2$，$7^2=49$，$2\times7\times1=14$，$1^2=1$，$49+1$(进位)$=50$，$14$，$(71)^2=71\times71=5041$。因此验证。(v) 令 $a=9$ 且 $b=6$，$a^2$，$2ab$，$b^2$，$9^2=81$，$2\times9\times6=108$，$6^2=36$，$81+11$(进位)$=92$，$108+3$(进位)$=111$，$(96)^2=96\times96=9216$。因此验证。
求解：我们必须使用对角线法求出给定数字的平方。解答：(i) 因此，$(98)^2=9604$(ii) 因此，$(273)^2=74529$(iii) 因此，$(348)^2=121104$(iv) 因此，$(295)^2=87025$(v) 因此，$(171)^2=29241$
要求：我们必须找到给定数字平方的个位数。解答：我们知道，个位数为 $a$ 的数字的平方的个位数将以 $a \times a$ 的个位数结尾。(i) 这里，给定数字的个位数是 2。这意味着，52 的平方的个位数 $=2^2=4$。给定数字平方的个位数是 4。(ii) 这里，给定数字的个位数是 7。这意味着，977 的个位数的平方 $=7^2=49$。因此，… 阅读更多
已知：$1 + 3 = 2^2$，$1 + 3 + 5 = 3^2$，$1+3 + 5 + 7 = 4^2$。要求：我们必须写出 $1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…………$ 的值，直到 $n$ 项。解答：我们可以观察到，前两个奇数的和是 $2^2$，前三个奇数的和是 $3^2$，前四个奇数的和是 $4^2$。这意味着，前 $n$ 个奇数的和 $=n^2$。因此，$1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…………$ 直到 $n$ 项的值是 $n^2$。
要求：我们必须写出给定表达式的值。解答：我们可以观察到，$2^2 – 1^2 = 2 + 1$，$3^2 – 2^2 = 3 + 2$，$4^2 – 3^2 = 4 + 3$，$5^2 – 4^2 = 5 + 4$。这意味着，(i) $m^2-n^2=m+n$。因此，$100^2 – 99^2=100+99$。(ii) $m^2-n^2=m+n$，$111^2 – 109^2$ 可以写成，$111^2 – 109^2=111^2-110^2+110^2-109^2$。因此，$111^2 – 109^2=(111^2-110^2)+(110^2-109^2)=(111+110)+(110+109)=440$。(iii) $m^2-n^2=m+n$，$99^2 – 96^2$ 可以写成，$99^2 – 96^2=99^2-98^2+98^2-97^2+97^2-96^2$。因此，$99^2 – 96^2=(99^2-98^2)+(98^2-97^2)+(97^2-96^2)=(99+98)+(98+97)+(97+96)=585$
要求：我们必须找出给定的三元组是否是毕达哥拉斯三元组。解答：毕达哥拉斯三元组是满足条件 $a^2+b^2=c^2$ 的正整数 $a, b, c$ 的集合，其中 $c>a, b$(i) 这里，最大的数字是 17。因此，$17^2=289$，$8^2+15^2=64+225=289$。这意味着，$17^2=8^2+15^2$。因此，(8, 15, 17) 是毕达哥拉斯三元组。(ii) 这里，最大的数字是 82。因此，$82^2=6724$，$18^2+80^2=324+6400=6724$。这意味着，$82^2=18^2+80^2$。因此，(18, 80, 82) 是毕达哥拉斯三元组。(iii) 这里，最大的数字是 51。因此，$51^2=2601$，$14^2+48^2=196+2304=2500$。这意味着，$51^2≠ 14^2+48^2$。因此，(14, 48, 51) 不是毕达哥拉斯三元组。(iv) 这里，最大的数字是 26。因此，$26^2=676$，$10^2+24^2=100+576=676$。这意味着，… 阅读更多
我们知道，$\sin(90^o+\theta)=\cos \theta$，$\sin(90^o-\theta)=\cos \theta$。在一个三角形中，$A+B+C=180^o$，$\Rightarrow \frac{A+B+C}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o$.....(i)，$\Rightarrow \frac{A+B}{2}=90^o-\frac{C}{2}$。因此，左边 $=\sin (C+\frac{A+B}{2})=\sin(\frac{A+B+2C}{2})=\sin(\frac{A+B+C}{2}+\frac{C}{2})=\sin(90^o+\frac{C}{2})$ [来自 (i)]$=\cos \frac{C}{2}$，右边 $=\sin \frac{A+B}{2}=\sin(90^o-\frac{C}{2})$ [来自 (ii)]$=\cos \frac{C}{2}$，左边 = 右边。因此证明。
已知：\( (1 \times 2)+(2 \times 3)=\frac{2 \times 3 \times 4}{3} \)，\( (1 \times 2)+(2 \times 3)+(3 \times 4)=\frac{3 \times 4 \times 5}{3} \)，\( (1 \times 2)+(2 \times 3)+(3 \times 4)+(4 \times 5)=\frac{4 \times 5 \times 6}{3} \)。要求：我们必须找到 \( (1 \times 2)+(2 \times 3)+(3 \times 4)+(4 \times 5)+(5 \times 6) \) 的值。解答：我们观察到，\( (1 \times 2)+(2 \times 3)=\frac{2 \times 3 \times 4}{3} \)，\( (1 \times 2)+(2 \times 3)+(3 \times 4)=\frac{3 \times 4 \times 5}{3} \)，\( (1 \times 2)+(2 \times 3)+(3 \times 4)+(4 \times 5)=\frac{4 \times 5 \times 6}{3} \)。因此，$(1 \times 2)+(2 \times 3)+(3 \times 4)+(4 \times 5)+(5 \times 6)=\frac{5\times6\times7}{3}=5\times2\times7=70$
要求：我们必须找到给定级数的值。解答：我们观察到，$1=\frac{1}{2}\{1 \times(1+1)\}$，$1+2=\frac{1}{2}\{2 \times(2+1)\}$，$1+2+3=\frac{1}{2}\{3 \times(3+1)\}$，$1+2+3+4=\frac{1}{2}\{4 \times(4+1)\}$。因此，(i) $1+2+3+4+5+\ldots . .+50=\frac{1}{2}\{50 \times(50+1)\}=\frac{1}{2} \times 50 \times 51=1275$(ii) $(1+2+3+4+\ldots . .+50)-(1+2+3+4+\ldots . .+30)=\frac{1}{2}\{50 \times(50+1)\}-\frac{1}{2}\{30 \times(30+1)\}=\frac{1}{2} \times 50 \times 51-\frac{1}{2} \times 30 \times 31=1275-465=810$
待办事项：我们需要求出给定级数的值。解：我们观察到，\( 1^{2}=\frac{1}{6}[1 \times(1+1) \times(2 \times 1+1)] \)\( 1^{2}+2^{2}=\frac{1}{6}[2 \times(2+1) \times(2 \times 2+1)] \)\( 1^{2}+2^{2}+3^{2}=\frac{1}{6}[3 \times(3+1) \times(2 \times 3+1)] \)\( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\frac{1}{6}[4 \times(4+1) \times(2 \times 4+1)] \)因此，(i) \(1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots .+10^{2}=\frac{1}{6}[10 \times(10+1) \times(2 \times 10+1)]\) \(=\frac{1}{6}[10 \times 11 \times 21]\) \(=\frac{10 \times 11 \times 21}{6}\) \(=\frac{2310}{6}\) \(=385\) (ii) \(5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}+10^{2}+11^{2}+12^{2}=[1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots . .+12^{2}]-[1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}]\) \(=\frac{1}{6}[12 \times(12+1) \times(2 \times 12+1)]-\frac{1}{6}[4 \times(4+1) \times(2 \times 4+1)]\) \(=\frac{1}{6}[12 \times13 \times25]-\frac{1}{6}[4 \times5\times9]\) \(=650-30\) \(=620\)