数据结构
网络
关系数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
时尚研究
法学研究
已知：$x + y + z = 8$ 和 $xy + yz+ zx = 20$ 求解：我们需要求 $x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz$ 的值。解：我们知道，$x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 -xy -yz - zx)$$x + y + z = 8$两边平方，得到$(x + y + z)^2 = (8)^2$$x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 64$$x^2 + y^2 + z^2 + 2 \times 20 = 64$$x^2 + y^2 + z^2 + 40 = 64$$x^2 + y^2 + z^2 = 64 - 40 = 24$因此，$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z) [x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx)]$$= 8(24 - 20)$$= 8 \times 4$$= 32$所以，$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 32$。
已知：等差数列的第 9 项等于其第 2 项的 6 倍。第 5 项 = 22求解：我们需要求该等差数列。解：设所求等差数列为 $a, a+d, a+2d, ......$这里，$a_1=a, a_2=a+d$，公差 $=a_2-a_1=a+d-a=d$我们知道，$a_n=a+(n-1)d$因此，$a_{5}=a+(5-1)d$$22=a+4d$$a=22-4d$.....(i)$a_{9}=a+(9-1)d$$=a+8d$$a_{2}=a+(2-1)d$$=a+d$根据题意，$a_{9}=6\times a_2$$a+8d=6(a+d)$$a+8d=6a+6d$$6a-a=8d-6d$$5a=2d$$5(22-4d)=2d$ (由 (i) 式)$110-20d=2d$$20d+2d=110$$22d=110$$d=\frac{110}{22}=5$这意味着，$a=22-4(5)$$=22-20$$=2$因此，$a_1=2$$a_2=a+d=2+5=7$$a_3=a+2d=2+2(5)=2+10=12$$a_4=a+3d=2+3(5)=2+15=17$因此，所求等差数列是 $2, 7, 12, 17, ......$。阅读更多
已知：等差数列的第 5 项和第 9 项之和为 30。第 25 项是其第 8 项的三倍。求解：我们需要求该等差数列。解：设该等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$。我们知道，第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$第 5 项 $a_5=a+(5-1)d=a+4d$第 9 项 $a_9=a+(9-1)d=a+8d$$a+4d+a+8d=30$ (已知)$2a+12d=30$$2(a+6d)=2(15)$$a+6d=15$$a=15-6d$....(i)第 8 项 $a_8=a+(8-1)d=a+7d$第 25 项 $a_{25}=a+(25-1)d=a+24d$$a+24d=3(a+7d)$ (已知)$a+24d=3a+21d$$3a-a=24d-21d$$2a=3d$$2(15-6d)=3d$ (由 (i) 式)$30-12d=3d$$30=12d+3d$$15d=30$$d=\frac{30}{15}$$d=2$因此，$a=15-6(2)=15-12=3$$a_2=a+d=3+2=5$$a_3=a+2d=3+2(2)=3+4=7$$a_4=a+3d=3+3(2)=3+6=9$所求等差数列为 $3, 5, 7, 9, .....$。阅读更多
已知：\( a, 7, b, 23, c \) 构成一个有限等差数列。求解：我们需要求 $a, \ b$ 和 $c$。解：$a, \ 7, \ b, \ 23, \ c$ 是等差数列因此，$7-a=d$ ......$(i)$$b-7=d$ ....... $( ii)$$23-b=d$ ....... $( iii)$$c-23=d$ ....... $( iv)$由 $( i)$ 和 ( ii)$$7-a=b-7$$\Rightarrow -b-a=-14$$\Rightarrow a+b=14$ ....... $( v)$由 $( ii)$ 和 $( iii)$$b-7=23-b$$\Rightarrow b+b=23+7$$\Rightarrow 2b=30$$\Rightarrow b=\frac{30}{2}$$\Rightarrow b=15$，将其代入 (v) 式$a+15=14$$\Rightarrow a=14-15=-1$现在，由 $( iii)$ 和 $( iv)$$c-23=23-b$$\Rightarrow c-23=23-15$$\Rightarrow c-23=8$$\Rightarrow c=8+23$$\Rightarrow c=31$因此，$a, \ b$ 和 $c$ 的值分别为 -1, 15 和 31。阅读更多
已知：等差数列的首项为 12，第 7 项比第 11 项小 24。求解：我们需要求该等差数列的第 20 项。解：设该等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$。我们知道，等差数列的第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$因此，$a_{1}=a=12$......(i)$a_{7}=a+(7-1)d$$=a+6d$.......(ii)$a_{11}=a+(11-1)d$$=a+10d$......(iii)根据题意，$a_{7}=a_{11}-24$$a+6d=(a+10d)-24$$10d+a-a-6d=24$$4d=24$$d=6$.....(iv)$\Rightarrow a_{20}=a+(20-1)d$$=12+19\times6$$=12+114$$=126$该等差数列的第 20 项是 126。阅读更多
已知：207 的三个部分按递增顺序排列，构成一个等差数列，且较小的两个部分的乘积为 4623。求解：我们需要求这三个部分。解：设 207 的三个部分为 $(a – d), a$ 和 $(a + d)$，它们构成等差数列。根据题意，三个部分之和 $= 207$$a – d + a + a + d = 207$$3a = 207$$a = \frac{207}{3}$$a=69$较小的两个部分的乘积 $= 4623$这意味着，$a (a – d) = 4623$$69 (69 – d) = 4623$$69 – d = \frac{4623}{69}$$69 – d =67$$d = 69 ... 阅读更多
已知：两个等差数列 \( 9, 7, 5, \ldots \) 和 \( 24, 21, 18, \ldots \) 的第 \( n \) 项相等。求解：我们需要求 \( n \) 的值以及该相等的项。解：第一个等差数列是 \( 9, 7, 5, \ldots \)$a_1 = 9, d_1 = 7-9 = - 2$第二个等差数列是 \( 24, 21, 18, \ldots \)$b_1 = 24, d_2 = 21-24 =-3$$n^{th}$ 项两个等差数列的项相等。所以，$a_n=b_n$我们知道，$a_n=a+ (n-1)d$这意味着，$a_n= 9 + (n-1)(-2)$$b_n= 24+(n-1)(-3)$$9 + (n-1) (-2) = 24 + (n-1) (-3)$$9 - 2n + 2 ... 阅读更多
已知：\( 1+(-2)+(-5)+(-8)+\ldots+(-236) \)求解：我们需要求该和。解：已知等差数列为 \( 1+(-2)+(-5)+(-8)+\ldots+(-236) \)。这里，$a_1=1, d=-2-1=-3$ 我们知道，$a_n=a+ (n-1)d$$S_n=\frac{n}{2}(a+l)$这意味着，$l=a_n= 1 + (n-1)(-3)$$-236= 1-3n+3$$-236= 4-3n$$3n= 4 + 236$$3n =240$$n = 80$因此，$S_n=\frac{80}{2}[1+(-236)]$$=40(-235)$$=-9400$因此，\( 1+(-2)+(-5)+(-8)+\ldots+(-236)=-9400 \)。
已知：\( \frac{2}{3}+0 . \overline{11} \)。求解：我们需要计算 \( \frac{2}{3}+0 . \overline{11} \)。解：$0. \overline{11}$设 $x = 0.1111....$两边乘以 100。$100x = 100(0.1111....)$$100x = 11.1111.....$因此，$100x-x = 11.1111.... - 0.1111.....$$99x = 11$$x = \frac{11}{99}=\frac{1}{9}$因此，$\frac{2}{3}+0 . \overline{11}=\frac{2}{3}+\frac{1}{9}$$=\frac{2\times3+1}{9}$$=\frac{6+1}{9}$$=\frac{7}{9}$所以， \( \frac{2}{3}+0 . \overline{11}=\frac{7}{9} \)。
已知：a + b + c = 9 且 ab + bc + ca = 26