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已知：\( \frac{1}{3+\sqrt{2}} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此，$\frac{1}{3+\sqrt{2}}=\frac{1(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}$$=\frac{3-\sqrt{2}}{(3)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$ [因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$]$=\frac{3-\sqrt{2}}{9-2}$$=\frac{3-\sqrt{2}}{7}$因此， $\frac{1}{3+\sqrt{2}}=\frac{3-\sqrt{2}}{7}$。
已知：\( \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此， $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{1(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}$$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}$ [因为 $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$]$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}$$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{1}$$=\sqrt{6}+\sqrt{5}$因此， $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$。阅读更多
已知：\( \frac{16}{\sqrt{41}-5} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此，$\frac{16}{\sqrt{41}-5}=\frac{16(\sqrt{41}+5)}{(\sqrt{41}-5)(\sqrt{41}+5)}$$=\frac{16(\sqrt{41}+5)}{(\sqrt{41})^{2}-(5)^{2}}$ [因为 $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$]$=\frac{16(\sqrt{41}+5)}{41-25}$$=\frac{16(\sqrt{41}+5)}{16}$$=\sqrt{41}+5$因此， $\frac{16}{\sqrt{41}-5}=\sqrt{41}+5$。
已知：\( \frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此， $\frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}}=\frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{(5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5})(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}$$=\frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{(5 \sqrt{3})^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$$=\frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{25 \times 3-9 \times 5}$$=\frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{75-45}$$=\frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{30}$$=5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}$因此， $\frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}}=5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}$。阅读更多
已知：\( \frac{1}{2 \sqrt{5}-\sqrt{3}} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此， $\frac{1}{2 \sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{1 \times(2 \sqrt{5}+\sqrt{3})}{(2 \sqrt{5}-\sqrt{3})(2 \sqrt{5}+\sqrt{3})}$$=\frac{2 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{(2 \sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$ [因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$]$=\frac{2 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{20-3}$$=\frac{2 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{17}$因此， $\frac{1}{2 \sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{17}$。阅读更多
已知：\( \frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此， $\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}+1)(2 \sqrt{2}+\sqrt{3})}{(2 \sqrt{2}-\sqrt{3})(2 \sqrt{2}+\sqrt{3})}$$=\frac{\sqrt{3} \times 2 \sqrt{2}+\sqrt{3} \times \sqrt{3}+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}}{(2 \sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$ [因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$]$=\frac{2 \sqrt{6}+3+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}}{8-3}$$=\frac{2 \sqrt{6}+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+3}{5}$因此， $\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{6}+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+3}{5}$。 阅读更多
已知：\( \frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此， $\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}=\frac{(6-4 \sqrt{2})(6-4 \sqrt{2})}{(6+4 \sqrt{2})(6-4 \sqrt{2})}$$=\frac{(6-4 \sqrt{2})^{2}}{(6)^{2}-(4 \sqrt{2})^{2}}$$=\frac{36+16 \times 2-2 \times 6 \times 4 \sqrt{2}}{36-32}$$=\frac{36+32-48 \sqrt{2}}{4}$$=\frac{68-48 \sqrt{2}}{4}$$=17-12 \sqrt{2}$因此， $\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}=17-12 \sqrt{2}$。阅读更多
已知：\( \frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此， $\frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3}=\frac{(3 \sqrt{2}+1)(2 \sqrt{5}+3)}{(2 \sqrt{5}-3)(2 \sqrt{5}+3)}$$=\frac{3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{5}+3 \times 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{(2 \sqrt{5})^{2}-(3)^{2}}$$=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{20-9}$$=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{11}$因此， $\frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3}=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{11}$。阅读更多
已知：\( \frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a} \)要求：我们需要将给定的分数化成分母为有理数的分数。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。这意味着，分母为 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a$ 的分数的有理化因子为 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a$。因此， $\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}=\frac{b^{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}{(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a)(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}$$=\frac{b^{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}{(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}-a^{2}}$$=\frac{b^{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}{a^{2}+b^{2}-a^{2}}$$=\frac{b^{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}{b^{2}}$$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a$因此， $\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a$。阅读更多
已知：\( \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \)要求：我们需要使分母有理化并化简给定表达式。解答：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此， $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$$=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$$=\frac{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2-2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{3-2}$$=\frac{5-2 \sqrt{6}}{1}$$=5-2 \sqrt{6}$因此， $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=5-2 \sqrt{6}$。阅读更多