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已知：$(\sqrt5-2)(\sqrt3-\sqrt5)$
要求：化简该表达式。
解答：
我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$，$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$，$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$，$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \times b}$，$\sqrt[n]{a} \div \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$，$a^{0}=1$
因此，$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{3}-\sqrt{5})=\sqrt{5} \times \sqrt{3}-\sqrt{5} \times \sqrt{5}-2 \sqrt{3}+2 \sqrt{5}$
$=\sqrt{15}-(\sqrt{5})^2-2 \sqrt{3}+2 \sqrt{5}$
$=\sqrt{15}-5-2 \sqrt{3}+2 \sqrt{5}$
$=\sqrt{15}-2 \sqrt{3}+2 \sqrt{5}-5$
因此，$(\sqrt5-2)(\sqrt3-\sqrt5)=\sqrt{15}-2 \sqrt{3}+2 \sqrt{5}-5$。阅读更多
已知：等差数列为 8, 15, 22,…
要求：求和为 1490 的项数。
解答：
我们知道，等差数列前 n 项和为 $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
这里，首项 $a_1=a=8$，第二项 $a_2=15$，公差 $d=a_2-a_1=15-8=7$
设和为 1490 的项数为 n。因此，$1490=\frac{n}{2}[2(8)+(n-1)7]$
$2\times1490=n(16+7n-7)$
$2980=n(7n+9)$
$7n^2+9n-2980=0$
$n=\frac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\times7\times(-2980)}}{2\times7}$
$=\frac{-9 \pm \sqrt{81+83440}}{14}$
$=\frac{-9 \pm \sqrt{83521}}{14}$
$=\frac{-9 \pm 289}{14}$
$=20$ [n 不能为负数]
和为 1490 的项数为 20。阅读更多
如果一个磁铁被推过钢制桌面，那么施加的力将帮助它克服磁力和摩擦力而移动。
已知：分数的分母比其分子的两倍多 4。如果分子和分母都减少 6，则分母变成分子的 12 倍。
要求：求出原来的分数。
解答：
设原分数的分子和分母分别为 x 和 y。原分数 = $\frac{x}{y}$
根据题意，$y=2x+4$……(i)
当分子和分母都减少 6 时，分母变成分子的 12 倍。
新的分子 = x-6
新的分母 = y-6
$\Rightarrow y-6=12\times(x-6)$
$y-6=12x-72$
$12x-72+6=y$
$12x-66=y$ 将(i)代入
$12x-66=2x+4$
$12x-2x=4+66$
$10x=70$
$x=\frac{70}{10}$
$x=7$
$\Rightarrow y=2x+4=2(7)+4=14+4=18$
因此，原分数是 $\frac{7}{18}$。阅读更多
已知：$\frac{5}{9}+\frac{7}{12}$
要求：求 $\frac{5}{9}+\frac{7}{12}$ 的和。
解答：
9 和 12 的最小公倍数是 36。因此，
$\frac{5}{9}+\frac{7}{12}=\frac{5\times4+7\times3}{36}$
$=\frac{20+21}{36}$
$=\frac{41}{36}$
因此，和是 $\frac{41}{36}$。
已知：在 $\triangle ABC$ 中，AD 是中线。AB=8，AC=15，AD=8.5
要求：求 BC。
解答：
我们知道，任何三角形的两条边的平方和等于第三边一半的平方的两倍加上平分第三边的中线的平方的两倍。
因此，$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
$8^2 + 15^2 = 2(8.5^2 + BD^2)$
$64 + 225 = 2(72.25 + BD^2)$
$289 = 144.5 + 2BD^2$
$2BD^2 = 289 - 144.5$
$2BD^2 = 144.5$
$BD^2 = \frac{144.5}{2}=72.25$
$BD^2 = (8.5)^2$
$\Rightarrow BD = 8.5$
AD 是中线，这意味着 $\frac{BC}{2} = BD = DC = 8.5$
$\Rightarrow BC = 8.5 \times 2 = 17$
因此，$BC=17$。
已知：在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=90^{\circ}$，BM 是高。AM=BM=12
要求：求 AC。
解答：
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ABM$ 中，
$AB=AB$
$\angle A=\angle A$
$\angle B=\angle M= 90^o$
因此，$\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{BM}$
$\frac{AB}{12}=\frac{BC}{12}$
$AB=BC$......(i)
根据勾股定理，$AB^2 =AM^2+BM^2$
$AB^2=AM^2+AM^2$
$AB^2=2AM^2$
$AB^2=BC^2=2AM^2$
在 $\triangle ABC$ 中，$AC^2=AB^2+BC^2$
$AC^2=2AM^2+2AM^2$
$AC^2=4AM^2$
$AC^2=(2AM)^2$
$AC=2AM$
$=2\times12$
$=24$
因此，AC=24。
已知：在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=90^{\circ}$，BM 是高。AM=$2 x^{2}$，CM=$8 x^{2}$
要求：求 BM，AB 和 BC。
解答：
在 $\triangle ABC$ 中，根据勾股定理，$AC^2 =AB^2+BC^2$
$(2x^2+8x^2)^2=AB^2+BC^2$
$(10x^2)^2=AB^2+BC^2$
$100x^4=AB^2+BC^2$......(i)
类似地，在 $\triangle ABM$ 中，根据勾股定理，$AB^2 =AM^2+BM^2$
$AB^2=(2x^2)^2+BM^2$......(ii)
在 $\triangle BMC$ 中，根据勾股定理，$BC^2 =MC^2+BM^2$
$BC^2=(8x^2)^2+BM^2$......(iii)
由 (i)、(ii) 和 (iii)，$(2x^2)^2+(8x^2)^2+32x^4=(2x^2)^2+BM^2+(8x^2)^2+BM^2$
$32x^4=2BM^2$
$16x^4=BM^2$
$BM^2=(4x^2)^2$
$BM=4x^2$
因此，$AB^2=(2x^2)^2+16x^4$
$=4x^4+16x^4$
$=20x^4$
$\Rightarrow AB=\sqrt{20x^4}$
$=2\sqrt{5}x^2$
$BC^2=(8x^2)^2+16x^4$
$=64x^4+16x^4$
$=80x^4$
$\Rightarrow BC=\sqrt{80x^4}$
$=4\sqrt{5}x^2$阅读更多
已知： (i) $x^{2}+x-20=0$ (ii) $9 y^{2}-12 y+2=0$
要求：解下列二次方程。
解答：
(i) $x^{2}+x-20=0$
$x^2+5x-4x-20=0$ [因为 5x-4x=x 且 5x × (-4x)=-20x^2]
$x(x+5)-4(x+5)=0$
$(x+5)(x-4)=0$
$\Rightarrow (x+5)=0$ 或 $x-4=0$
$\Rightarrow x=-5$ 或 $x=4$
(ii) $9y^{2}-12y+2=0$
$y=\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4\times9\times2}}{2\times9}$
$=\frac{12 \pm \sqrt{144-72}}{18}$
$=\frac{12 \pm \sqrt{72}}{18}$
$=\frac{12 \pm \sqrt{36\times2}}{18}$
$=\frac{6\times2 \pm 6\sqrt{2}}{6\times3}$
$=\frac{2 \pm \sqrt{2}}{3}$
$y=\frac{2 + \sqrt{2}}{3}$ 或 $y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$。
已知：\( (11+\sqrt{11})(11-\sqrt{11}) \) 求解：化简该表达式。