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已知：\( \left(\frac{x^{a+b}}{x^{c}}\right)^{a-b}\left(\frac{x^{b+c}}{x^{a}}\right)^{b-c}\left(\frac{x^{c+a}}{x^{b}}\right)^{c-a} \)需要做：我们需要化简给定的表达式。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$a^{0}=1$因此，$(\frac{x^{a+b}}{x^{c}})^{a-b}(\frac{x^{b+c}}{x^{a}})^{b-c}(\frac{x^{c+a}}{x^{b}})^{c-a}=(x^{a+b-c})^{a-b} \times (x^{b+c-a})^{b-c} \times (x^{c+a-b})^{c-a}$$=x^{(a+b-c)(a-b)} x^{(b+c-a)(b-c)} x^{(c+a-b)(c-a)}$$=x^{a^{2}-b^{2}-a c+b c} \times x^{b^{2}-c^{2}-a b+a c} \times x^{c^{2}-a^{2}-b c+a b}$$=x^{a^{2}-b^{2}-a c+b c+b^{2}-c^{2}-a b+a c+c^{2}-a^{2}-b c+a b}$$=x^{0}$$=1$因此，$(\frac{x^{a+b}}{x^{c}})^{a-b}(\frac{x^{b+c}}{x^{a}})^{b-c}(\frac{x^{c+a}}{x^{b}})^{c-a}=1。阅读更多
已知：\( \sqrt[lm]{\frac{x^{l}}{x^{m}}} \times \sqrt[m n]{\frac{x^{m}}{x^{n}}} \times \sqrt[n l]{\frac{x^{n}}{x^{l}}} \)需要做：我们需要化简给定的表达式。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$a^{0}=1$因此，$\sqrt[lm]{\frac{x^{l}}{x^{m}}} \times \sqrt[m n]{\frac{x^{m}}{x^{n}}} \times \sqrt[n l]{\frac{x^{n}}{x^{l}}}=(x^{l-m})^{\frac{1}{l m}} \times (x^{m-n})^{\frac{1}{m n}} \times (x^{n-l})^{\frac{1}{n l}}$$=x^{\frac{l-m}{l m}} \times x^{\frac{m-n}{m n}} \times x^{\frac{n-l}{n l}}$$=x^{\frac{l-m}{l m}+\frac{m-n}{m n}+\frac{n-l}{n l}}$$=x^{\frac{\ln -m n+l m-l n+m n-l m}{l m n}}$$=x^{\frac{0}{l m n}}$$=x^{0}$$=1$因此，$\sqrt[lm]{\frac{x^{l}}{x^{m}}} \times \sqrt[m n]{\frac{x^{m}}{x^{n}}} \times \sqrt[n l]{\frac{x^{n}}{x^{l}}}=1。 阅读更多
已知：\( \frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^{m} \times\left(a-\frac{1}{b}\right)^{n}}{\left(b+\frac{1}{a}\right)^{m} \times\left(b-\frac{1}{a}\right)^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \)需要做：我们需要证明 \( \frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^{m} \times\left(a-\frac{1}{b}\right)^{n}}{\left(b+\frac{1}{a}\right)^{m} \times\left(b-\frac{1}{a}\right)^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \)。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$a^{0}=1$因此，LHS $=\frac{(a+\frac{1}{b})^{m} \times (a-\frac{1}{b})^{n}}{(b+\frac{1}{a})^{m} \times (b-\frac{1}{a})^{n}}$$=\frac{(\frac{a b+1}{b})^{m} \times (\frac{a b-1}{b})^{n}}{(\frac{a b+1}{a})^{m} \times (\frac{a b-1}{a})^{n}}$$=\frac{\frac{(a b+1)^{m} \times(a b-1)^{n}}{b^{m} \times b^{n}}}{\frac{(a b+1)^{m}}{a^{m}} \times \frac{(a b-1)^{n}}{a^{n}}}$$=\frac{(a b+1)^{m}(a b-1)^{n} \times a^{m} \times a^{n}}{b^{m} \times b^{n}(a b+1)^{m}(a b-1)^{n}}$$=\frac{a^{m} \times a^{n}}{b^{m} \times b^{n}}$$=\frac{a^{m+n}}{b^{m+n}}$$=(\frac{a}{b})^{m+n}$$=$ RHS因此得证。阅读更多
已知：\( a=x^{m+n} y^{l}, b=x^{n+l} y^{m} \) 和 \( c=x^{l+m} y^{n} \)需要做：我们需要证明 \( a^{m-n} b^{n-1} c^{l-m}=1 . \)解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$a^{0}=1$因此，LHS $=a^{m-n} b^{n-l} c^{l-m}$$=(x^{m+n} y^l)^{m-n} (x^{n+l} y^m)^{n-l} (x^{l+m} y^n)^{l-m}$$=x^{(m+n)(m-n)} y^{l(m-n)} \times x^{(n+l)(n-l)} y^{m(n-l)} \times x^{(l+m)(l-m)} y^{n(l-m)}$$=x^{m^2-n^2} y^{lm-ln} x^{n^2-l^2} y^{mn-ml} x^{l^2-m^2} y^{nl-nm}$$=x^{m^2-n^2+n^2-l^2+l^2-m^2} y^{lm-ln+mn-ml+nl-mn}$$=x^0 \times y^0$$=1\times1$$=1$$=$ RHS因此得证。 阅读更多
已知：\( a=x^{m+n} y^{l}, b=x^{n+l} y^{m} \) 和 \( c=x^{l+m} y^{n} \)需要做：我们需要证明 \( x^{m} y^{n} z^{l}=x^{n} y^{l} z^{m} \)解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$a^{0}=1$因此，LHS $=x^{m} y^{n} z^{l}$$=a^{(m+n) m} \times a^{(n+l) n} \times a^{(l+m)l}$$=a^{m^{2}+m n} \times a^{n^{2}+n l} \times a^{l^{2}+m l}$$=a^{m^{2}+n^{2}+l^{2}+m n+n l+l m}$RHS $=x^{n} y^{l} z^{m}$$=(a^{m+n})^{n} \times (a^{n+l})^{l} \times (a^{l+m})^{m}$$=a^{m n+n^{2}} \times a^{n l+l^{2}} \times a^{l m+m^{2}}$$=a^{m n+n^{2}+n l+l^{2}+l m+m^{2}}$$=a^{l^{2}+m^{2}+n^{2}+l m+m n+n l}$LHS $=$ RH因此得证。 阅读更多
已知：一个等差数列的第 4 项和第 8 项之和为 24，第 6 项和第 10 项之和为 34。需要做：我们需要求此等差数列的 \( a \) 和 \( d \)。解答：设等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$。我们知道，等差数列的第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$因此，$a_{4}=a+(4-1)d$$=a+3d$......(i)$a_{8}=a+(8-1)d$$=a+7d$......(ii)根据题意，$a_4+a_8=a+3d+a+7d$$24=2a+10d$$24=2(a+5d)$ $12=a+5d$$a=12-5d$......(iii)$a_{6}=a+(6-1)d$$=a+5d$......(iv)$a_{10}=a+(10-1)d$$=a+9d$......(v)根据题意，$a_6+a_{10}=a+5d+a+9d$$34=2a+14d$$34=2(a+7d)$ $17=a+7d$$7d=17-(12-5d)$ (由 (iii) 得)$7d=17-12+5d$$7d-5d=5$$2d=5$$d=\frac{5}{2}$这意味着，$a=12-5(\frac{5}{2})$$a=12-\frac{25}{2}$$a=\frac{12\times2-25}{2}$$a=\frac{24-25}{2}$$a=\frac{-1}{2}$因此，给定等差数列的首项 (a) 和公差 (d) 分别为 $\frac{-1}{2}$ 和 $\frac{5}{2}$。 阅读更多
已知：\( \sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{16} \)需要做：我们需要化简给定的表达式。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \times b}$$a^{0}=1$因此，$\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{4 \times 16}$ $=\sqrt[3]{64}$$=\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4}$$=\sqrt[3]{4^3}$$=4$因此，$\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{16}=4。
已知：\( \frac{\sqrt[4]{1250}}{\sqrt[4]{2}} \)需要做：我们需要化简给定的表达式。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \times b}$$\sqrt[n]{a} \div \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$a^{0}=1$因此，$\frac{\sqrt[4]{1250}}{\sqrt[4]{2}}=\sqrt[4]{\frac{1250}{2}}$$=\sqrt[4]{625}$$=\sqrt[4]{5 \times 5 \times 5 \times 5}$$=(5^{4})^{\frac{1}{4}}$$=5^{4 \times \frac{1}{4}}$$=5^{1}$$=5$因此， $\frac{\sqrt[4]{1250}}{\sqrt[4]{2}}=5。
已知：$(4+\sqrt7)(3+\sqrt2)$需要做：我们需要化简给定的表达式。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \times b}$$\sqrt[n]{a} \div \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$a^{0}=1$因此，$(4+\sqrt{7})(3+\sqrt{2})=4 \times 3+4 \times \sqrt{2}+3 \times \sqrt{7}+\sqrt{7} \times \sqrt{2}$$=12+4 \sqrt{2}+3 \sqrt{7}+\sqrt{14}$因此， $(4+\sqrt7)(3+\sqrt2)=12+4 \sqrt{2}+3 \sqrt{7}+\sqrt{14}$。
**已知：**$(3+\sqrt3)(5-\sqrt2)$**要求：** 简化给定表达式。**解：**我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$ $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$ $a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$ $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \times b}$ $\sqrt[n]{a} \div \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ $a^{0}=1$因此，$(3+\sqrt{3})(5-\sqrt{2})=3 \times 5-3 \sqrt{2}+5 \sqrt{3}-\sqrt{3} \times \sqrt{2}$ $=15-3 \sqrt{2}+5 \sqrt{3}-\sqrt{6}$因此，$(3+\sqrt{3})(5-\sqrt{2})=15-3 \sqrt{2}+5 \sqrt{3}-\sqrt{6}$。