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已知：$-\frac{3}{5}$ 和 $\frac{1}{5}$；$n=3$。要做的：找出$-\frac{3}{5}$和$\frac{1}{5}$之间的3个有理数。解：已知的有理数是：$-\frac{3}{5}$和$\frac{1}{5}$ 或 $-\frac{3}{5}\times\frac{2}{2}$ 和 $\frac{1}{5}\times\frac{2}{2}$ 或 $-\frac{6}{10}$ 和 $\frac{2}{10}$ 因此，$\frac{6}{10}$ 和 $\frac{2}{10}$ 之间的有理数是：$-\frac{5}{10}$ 和 $-\frac{4}{10}$
已知：有理数 $\frac{2}{9}$ 和 $\frac{0}{9}$。要做的：表示有理数 $\frac{2}{9}$ 和 $\frac{0}{9}$。解：1. 画一条数轴，并在数轴上标记 0 和 1。2. 将数轴从 0 到 1 平均分成 9 份。3. 标记 $\frac{0}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{2}{9},\ \frac{3}{9},\ \frac{4}{9},\ \frac{5}{9},\ \frac{6}{9},\ \frac{7}{9},\ \frac{8}{9},\ \frac{9}{9}$。4. 用箭头在数轴上表示 $\frac{0}{9}$ 和 $\frac{2}{9}$。
已知：\( \sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B \) 和 \( \cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B \)。要做的：我们必须找到 \( \sin 15^{\circ} \) 和 \( \cos 15^{\circ} \) 的值。解：设 $A=45^{\circ}, B=30^{\circ}$ 我们知道，$\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$$\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$因此，$\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B})=\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{B}-\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{B}$ $\Rightarrow \sin \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}-\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$$\Rightarrow \sin 15^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}-\frac{1}{2 \sqrt{2}}$$=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}$$\cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})=\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B}+\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B}$$\Rightarrow \cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin .45^{\circ} \sin 30^{\circ}$ $\Rightarrow \cos 15^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{2}}$$=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}$值…阅读更多
已知：在一个直角三角形\( A B C \)中，直角在\( C \)，\( \angle B=60^{\circ} \)且\( A B=15 \)个单位。要做的：我们必须找到其余的角和边。解：我们知道三角形中角的和是$180^o$。因此，$\angle A+\angle B+\angle C=180^o$$\angle A+60^o+90^o=180^o$$\angle A=180^o-150^o$$\angle A=30^o$$\sin\ B=\frac{AC}{AB}$$\sin\ 60^o=\frac{AC}{AB}$ $\frac{\sqrt3}{2}=\frac{AC}{15}$ (因为 $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$) $AC=\frac{15\sqrt3}{2}$ $\cos\ B=\frac{BC}{AB}$$\cos\ 60^o=\frac{BC}{AB}$ $\frac{1}{2}=\frac{BC}{15}$ (因为 $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$) $BC=\frac{15}{2}$ 角 $B$ 和 $C$ 的值分别为 $60^{\circ}$ 和 $90^{\circ}$，边 $BC$ 和 $AC$ …阅读更多
已知：在一个直角三角形\( A B C \)中，直角在\( C \)，\( \angle A=45^{\circ} \)且\( B C=7 \)个单位。要做的：我们必须找到\( \angle B, A B \)和\( A C \)。解：我们知道三角形中角的和是$180^o$。因此，$\angle A+\angle B+\angle C=180^o$$\angle B+45^o+90^o=180^o$$\angle B=180^o-135^o$$\angle B=45^o$ $\cos\ B=\frac{BC}{AB}$$\cos\ 45^o=\frac{BC}{AB}$$\frac{1}{\sqrt2}$=\frac{7}{AB}$ (因为 $\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$) $AB=7\sqrt2$$\sin\ B=\frac{AC}{AB}$$\sin\ 45^o=\frac{AC}{AB}$$\frac{1}{\sqrt2}$=\frac{AC}{7\sqrt2}$ (因为 $\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$) $AC=7$ 角 $B$ 的值为 $45^{\circ}$，边 $AB$ 和 $AC$ 分别为 $7\sqrt2$ 个单位和 $7$ 个单位。…阅读更多
已知：在一个矩形\( A B C D \)中，\( A B=20 \mathrm{~cm} \)，\( \angle B A C=60^{\circ} \)。要做的：我们必须计算边\( B C \)和对角线\( A C \)和\( BD \)。解：\( \mathrm{ABCD} \)是一个矩形，其中\( \mathrm{AB}=20 \mathrm{~cm} \)，\( \angle \mathrm{BAC}=60^{\circ} \)\( \angle B=90^{\circ} \)\( \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \)\( \Rightarrow \cos 60^{\circ}=\frac{20}{\mathrm{AC}} \)\( \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{20}{\mathrm{AC}} \) (因为 $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2})$)\( \Rightarrow AC=20 \times 2=40 \mathrm{~cm} \)\( \tan \angle \mathrm{BAC}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \)\( \Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{\mathrm{BC}}{20} \) \( \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{\mathrm{BC}}{20} \) (因为 $\tan 60^{\circ}=\sqrt3)$)\( \Rightarrow \mathrm{BC}=20 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \)边\( \mathrm{BC} \) …阅读更多
已知：\( \sin \theta=\frac{12}{13} \)。要做的：我们必须找到\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值。解：在一个直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $B$ 处，且 $\ sin\ \theta = sin\ A=\frac{12}{13}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $B$ 处，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$ 根据三角比的定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (13)^2=AB^2+(12)^2$$\Rightarrow AB^2=169-144$$\Rightarrow AB=\sqrt{25}=5$因此，$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{5}$这意味着，$\frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta}=\frac{\left(\frac{12}{13}\right)^{2} -\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}{2\left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{5}{13}\right)} \times \frac{1}{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}$$=\frac{\frac{144-25}{169}}{\frac{120}{169}} \times \frac{25}{144}$$=\frac{119}{120} \times \frac{25}{144}$$=\frac{119\times 5}{24\times 144}$$=\frac{595}{3456}$的值…阅读更多
已知：\( \cos \theta=\frac{5}{13} \)。求解：求\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta} \)的值。解：在直角三角形ABC中，∠B为直角，且$\cos\theta = \cos A = \frac{5}{13}$。根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$。根据三角函数定义：$\sin\theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$，$\cos\theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，$\tan\theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$。已知$AC^2=AB^2+BC^2$，则$(13)^2=(5)^2+BC^2$，$BC^2=169-25$，$BC=\sqrt{144}=12$。因此，$\sin\theta=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{13}$，$\tan\theta=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{5}$。则$\frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta}=\frac{\left(\frac{12}{13}\right)^{2} -\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}{2\left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{5}{13}\right)} \times \frac{1}{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}$$=\frac{\frac{144-25}{169}}{\frac{120}{169}} \times \frac{25}{144}$$=\frac{119}{120} \times \frac{25}{144}$$=\frac{119\times 5}{24\times 144}$$=\frac{595}{3456}$\( \frac{\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \times \frac{1}{\tan ^{2} \theta}\)的值为 $\frac{595}{3456}$。阅读更多
已知：$sec\ A = \frac{5}{4}$。求解：验证\( \frac{3 \sin A-4 \sin ^{3} A}{4 \cos ^{3} A-3 \cos A}=\frac{3 \tan A-\tan ^{3} A}{1-3 \tan ^{2} A} \)。解：在直角三角形ABC中，∠B为直角，$sec\ A=\frac{5}{4}$。根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$。根据三角函数定义：$\sin\theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$，$\cos\theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，$\sec\theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$，$\tan\theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$。已知$AC^2=AB^2+BC^2$，则$(5)^2=(4)^2+BC^2$，$BC^2=25-16$，$BC=\sqrt{9}=3$。因此，$\sin\theta=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，$\cos\theta=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$，$\tan\theta=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$。考虑等式左边：$\frac{3 \sin A-4 \sin ^{3} A}{4 \cos ^{3} A-3 \cos A}=\frac{3\left(\frac{3}{5}\right) -4\left(\frac{3}{5}\right)^{3}}{4\left(\frac{4}{5}\right)^{3} -3\left(\frac{4}{5}\right)}$$=\frac{\frac{9}{5} -4\left(\frac{27}{125}\right)}{4\left(\frac{64}{125}\right) -\left(\frac{12}{5}\right)}$$=\frac{\frac{9}{5} -\left(\frac{108}{125}\right)}{\left(\frac{256}{125}\right) -\left(\frac{12}{5}\right)}$$=\frac{\frac{9( 25) -108}{125}}{\frac{256-12( 25)}{125}}$$=\frac{225-108}{256-300}$$=\frac{117}{-44}$$=-\frac{117}{44}$考虑等式右边：$\frac{3 \tan A-\tan ^{3} A}{1-3 \tan ^{2} A}$…阅读更多