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已知：\( \tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ} \) 求解：我们需要计算 \( \tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ} \)。解：我们知道，$tan\ (90^{\circ}- \theta) = cot\ \theta$，$tan\ \theta \times \cot\ \theta=1$。因此，$\tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}=\tan (90^{\circ}-42^{\circ})\tan 23^{\circ}\tan 42^{\circ}\tan (90^{\circ}-23^{\circ})$$=\tan 42^{\circ}\tan 23^{\circ}\cot 42^{\circ}\cot 23^{\circ}$$=(\tan 42^{\circ}\cot 42^{\circ})(\tan 23^{\circ}\cot 23^{\circ})$$=1\times1$$=1$ 因此，\( \tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}=1 \)。
已知：\( \sec 50^{\circ} \sin 40^{\circ}+\cos 40^{\circ} \operatorname{cosec} 50^{\circ} \) 求解：我们需要计算 \( \sec 50^{\circ} \sin 40^{\circ}+\cos 40^{\circ} \operatorname{cosec} 50^{\circ} \)。解：我们知道，$cosec\ (90^{\circ}- \theta) = sec\ \theta$，$sin\ (90^{\circ}- \theta) = cos\ \theta$，$\sec\ \theta\ cos\ \theta=1$。因此，$\sec 50^{\circ} \sin 40^{\circ}+\cos 40^{\circ} \operatorname{cosec} 50^{\circ}=\sec 50^{\circ} \sin (90^{\circ}-50^{\circ})+\cos 40^{\circ}{\operatorname{cosec} (90^{\circ}-40^{\circ})}$$=\sec 50^{\circ} \cos 50^{\circ}+\cos 40^{\circ} \sec 40^{\circ}$$=1+1$$=2$ 因此，\( \sec 50^{\circ} \sin 40^{\circ}+\cos 40^{\circ} \operatorname{cosec} 50^{\circ}=2 \)。
已知：\( \sin 59^{\circ}+\cos 56^{\circ} \) 求解：我们需要用 \( 0^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \) 之间的角度的三角函数表示 \( \sin 59^{\circ}+\cos 56^{\circ} \)。解：我们知道，$cos\ (90^{\circ}- \theta) = sin\ \theta$，$sin\ (90^{\circ}- \theta) = cos\ \theta$。因此，$\sin 59^{\circ}+\cos 56^{\circ}=\sin (90^{\circ}-31^{\circ})+\cos (90^{\circ}-34^{\circ})$$=\cos 31^{\circ}+\sin 34^{\circ}$ 因此，\( \sin 59^{\circ}+\cos 56^{\circ}=\cos 31^{\circ}+\sin 34^{\circ} \)。
已知：\( \tan 65^{\circ}+\cot 49^{\circ} \) 求解：我们需要用 \( 0^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \) 之间的角度的三角函数表示 \( \tan 65^{\circ}+\cot 49^{\circ} \)。解：我们知道，$cot\ (90^{\circ}- \theta) = tan\ \theta$，$tan\ (90^{\circ}- \theta) = cot\ \theta$。因此，$\tan 65^{\circ}+\cot 49^{\circ}=\tan (90^{\circ}-25^{\circ})+\cot (90^{\circ}-41^{\circ})$$=\cot 25^{\circ}+\tan 41^{\circ}$ 因此，\( \tan 65^{\circ}+\cot 49^{\circ}=\cot 25^{\circ}+\tan 41^{\circ} \)。
已知：\( \sec 76^{\circ}+\operatorname{cosec} 52^{\circ} \) 求解：我们需要用 \( 0^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \) 之间的角度的三角函数表示 \( \sec 76^{\circ}+\operatorname{cosec} 52^{\circ} \)。解：我们知道，$sec\ (90^{\circ}- \theta) = cosec\ \theta$，$\operatorname{cosec}\ (90^{\circ}- \theta) = sec\ \theta$。因此，$\sec 76^{\circ}+\operatorname{cosec} 52^{\circ}=\sec (90^{\circ}-14^{\circ})+\operatorname{cosec} (90^{\circ}-38^{\circ})$$=\operatorname{cosec} 14^{\circ}+\sec 38^{\circ}$ 因此，\( \sec 76^{\circ}+\operatorname{cosec} 52^{\circ}=\operatorname{cosec} 14^{\circ}+\sec 38^{\circ} \)。
已知：\( \cos 78^{\circ}+\sec 78^{\circ} \) 求解：我们需要用 \( 0^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \) 之间的角度的三角函数表示 \( \cos 78^{\circ}+\sec 78^{\circ} \)。解：我们知道，$sec\ (90^{\circ}- \theta) = cosec\ \theta$，$cos (90^{\circ}- \theta) = sin\ \theta$。因此，$\cos 78^{\circ}+\sec 78^{\circ}=\cos (90^{\circ}-12^{\circ})+\sec (90^{\circ}-12^{\circ})$$=\sin 12^{\circ}+cosec 12^{\circ}$ 因此，\( \cos 78^{\circ}+\sec 78^{\circ}=\sin 12^{\circ}+cosec 12^{\circ} \)。
已知：\( \operatorname{cosec} 54^{\circ}+\sin 72^{\circ} \) 求解：我们需要用 \( 0^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \) 之间的角度的三角函数表示 \( \operatorname{cosec} 54^{\circ}+\sin 72^{\circ} \)。解：我们知道，$sin\ (90^{\circ}- \theta) = cos\ \theta$，$\operatorname{cosec}\ (90^{\circ}- \theta) = sec\ \theta$。因此，$\operatorname{cosec} 54^{\circ}+\sin 72^{\circ}=\operatorname{cosec} (90^{\circ}-36^{\circ})+\sin (90^{\circ}-18^{\circ})$$=\sec 36^{\circ}+\cos 18^{\circ}$ 因此，\( \operatorname{cosec} 54^{\circ}+\sin 72^{\circ}=\sec 36^{\circ}+\cos 18^{\circ} \)。
已知：\( \cot 85^{\circ}+\cos 75^{\circ} \) 求解：我们需要用 \( 0^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \) 之间的角度的三角函数表示 \( \cot 85^{\circ}+\cos 75^{\circ} \)。解：我们知道，$cot\ (90^{\circ}- \theta) = tan\ \theta$，$cos\ (90^{\circ}- \theta) = sin\ \theta$。因此，$\cot 85^{\circ}+\cos 75^{\circ}=\cot (90^{\circ}-5^{\circ})+\cos (90^{\circ}-15^{\circ})$$=\tan 5^{\circ}+\sin 15^{\circ}$ 因此，\( \cot 85^{\circ}+\cos 75^{\circ}=\tan 5^{\circ}+\sin 15^{\circ} \)。
已知：\( \sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ} \) 求解：我们需要用 \( 0^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \) 之间的角度的三角函数表示 \( \sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ} \)。解：我们知道，$cos\ (90^{\circ}- \theta) = sin\ \theta$，$sin\ (90^{\circ}- \theta) = cos\ \theta$。因此，$\sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ}=\sin (90^{\circ}-23^{\circ})+\cos (90^{\circ}-15^{\circ})$$=\cos 23^{\circ}+\sin 15^{\circ}$ 因此，\( \sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ}=\cos 23^{\circ}+\sin 15^{\circ} \)。
已知：\( \cos 75^{\circ}+\cot 75^{\circ} \) 求解：我们需要用 \( 0^{\circ} \) 和 \( 30^{\circ} \) 之间的角度表示 \( \cos 75^{\circ}+\cot 75^{\circ} \)。解：我们知道，$cot\ (90^{\circ}- \theta) = tan\ \theta$，$cos\ (90^{\circ}- \theta) = sin\ \theta$。因此，$\cos 75^{\circ}+\cot 75^{\circ}=\cos (90^{\circ}-15^{\circ})+\cot (90^{\circ}-15^{\circ})$$=\sin 15^{\circ}+\tan 15^{\circ}$ 因此，\( \cos 75^{\circ}+\cot 75^{\circ}=\sin 15^{\circ}+\tan 15^{\circ} \)。