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已知：\( \frac{\tan 45^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}-\frac{5 \sin 90^{\circ}}{2 \cos 0^{\circ}} \)要求：我们需要计算 \( \frac{\tan 45^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}-\frac{5 \sin 90^{\circ}}{2 \cos 0^{\circ}} \) 的值。解答： 我们知道，$tan 45^{\circ}=1$$cosec 30^{\circ}=2$$\sec 60^{\circ}=2$$\cot 45^{\circ}=1$$\sin 90^{\circ}=1$$\cos 0^{\circ}=1$因此，$\frac{\tan 45^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}-\frac{5 \sin 90^{\circ}}{2 \cos 0^{\circ}}=\frac{1}{2} +\frac{2}{1} -\frac{5( 1)}{2( 1)}$$=\frac{1}{2} +2-\frac{5}{2}$$=\frac{1+2( 2) -5}{2}$$=\frac{-4+4}{2}$$=0$因此， $\frac{\tan 45^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}}+\frac{\sec 60^{\circ}}{\cot 45^{\circ}}-\frac{5 \sin 90^{\circ}}{2 \cos 0^{\circ}}=0$. 阅读更多
已知：\( \quad 2 \sin 3 x=\sqrt{3} \) 要求：我们需要求解 \( x \) 的值。解答： $2 \sin 3 x=\sqrt{3}$$\Rightarrow \sin 3 x=\frac{\sqrt{3}}{2}$我们知道，$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$$\Rightarrow \sin 3 x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow \sin 3 x=\sin 60^{\circ}$比较等式两边，得到，$3x=60^{\circ}$$x=\frac{60^{\circ}}{3}$$x=20^{\circ}$因此，$x$ 的值为 $20^{\circ}$。
已知：\( 2 \sin \frac{x}{2}=1 \) 要求：我们需要求解 \( x \) 的值。解答： $2 \sin \frac{x}{2}=1$$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$我们知道，$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\sin 30^{\circ}$比较等式两边，得到，$\frac{x}{2}=30^{\circ}$$x=2(30^{\circ})$$x=60^{\circ}$因此，$x$ 的值为 $60^{\circ}$。
已知：\( \sqrt{3} \sin x=\cos x \)要求：我们需要求解 \( x \) 的值。解答： \( \sqrt{3} \sin x=\cos x \)$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$我们知道，$\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$$\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$\Rightarrow \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$\Rightarrow \tan x=\tan 30^{\circ}$比较等式两边，得到，$x=30^{\circ}$因此，$x$ 的值为 $30^{\circ}$。
已知：\( \tan x=\sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ}+\sin 30^{\circ} \)要求：我们需要求解 \( x \) 的值。解答： 我们知道，$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$$\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$$\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$因此，\( \tan x=\sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ}+\sin 30^{\circ} \)$\Rightarrow \tan x=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}$$\Rightarrow \tan x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$\Rightarrow \tan x=1$$\Rightarrow \tan x=\tan 45^{\circ}$ (因为 $\tan 45^{\circ}=1$) 比较等式两边，得到，$x=45^{\circ}$因此，$x$ 的值为 $45^{\circ}$。
已知：\( \sqrt{3} \tan 2 x=\cos 60^{\circ}+\sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ} \)要求：我们需要求解 \( x \) 的值。解答： \( \sqrt{3} \tan 2 x=\cos 60^{\circ}+\sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ} \)我们知道， $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$$\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$$\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$\( \sqrt{3} \tan 2 x=\cos 60^{\circ}+\sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ} \)$\Rightarrow \sqrt{3} \tan 2 x=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt2}$$\Rightarrow \sqrt{3} \tan 2 x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$\Rightarrow \sqrt{3} \tan 2 x=1$$\Rightarrow \tan 2 x=\frac{1}{\sqrt3}$$\Rightarrow \tan 2 x=\tan 30^{\circ}$ (因为 $\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt3}$)比较等式两边，得到， $2x=30^{\circ}$$x=\frac{30^{\circ}}{2}$$x=15^{\circ}$因此，$x$ 的值为 $15^{\circ}$。 阅读更多
已知：\( \cos 2 x=\cos 60^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 60^{\circ} \sin 30^{\circ} \)要求：我们需要求解 \( x \) 的值。解答： 我们知道， $\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$\( \cos 2 x=\cos 60^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 60^{\circ} \sin 30^{\circ} \)$\Rightarrow \cos 2 x=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\times \frac{1}{2}$$\Rightarrow \cos 2 x=\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt3}{4}$$\Rightarrow \cos 2 x=\frac{2\sqrt3}{4}$$\Rightarrow \cos 2 x=\frac{\sqrt3}{2}$$\Rightarrow \cos 2 x=\cos 30^{\circ}$ (因为 $\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$)比较等式两边，得到， $2x=30^{\circ}$$x=\frac{30^{\circ}}{2}$$x=15^{\circ}$因此，$x$ 的值为 $15^{\circ}$。 阅读更多
已知：\( \theta=30^{\circ} \)要求：我们需要验证 \( \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta} \)。解答： \( \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta} \)这意味着， \( \tan 2(30^{\circ})=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} \)\( \tan 60^{\circ}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} \)我们知道， $\tan 60^{\circ}=\sqrt3$$\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt3}$让我们考虑左侧， $\tan 2 \theta=\tan 60^{\circ}$$=\sqrt3$让我们考虑右侧， $\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}$$=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}$$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}$$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}}$$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$$=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2}$$=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$=\sqrt{3}$左侧 = 右侧因此得证。阅读更多
已知：\( \theta=30^{\circ} \) 要求：我们需要验证 \( \sin 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta} \)。解答： \( \sin 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta} \) 这意味着， \( \sin 2(30^{\circ})=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} \)\( \sin 60^{\circ}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} \) 我们知道， $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$$\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt3}$让我们考虑左侧， $\sin 2 \theta=\sin 60^{\circ}$$=\frac{\sqrt3}{2}$让我们考虑右侧， $\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$$=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}$$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}$$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{3}}$$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$$=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4}$$=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$$=\frac{\sqrt{3}}{2}$左侧 = 右侧因此得证。 阅读更多
**已知：**\( \theta=30^{\circ} \)**求证：**我们需要验证 \( \cos 2 \theta=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta} \)。** **解答：** \( \cos 2 \theta=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta} \)这意味着， \( \cos 2(30^{\circ})=\frac{1-\tan^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} \)\( \cos 60^{\circ}=\frac{1-\tan^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} \)我们知道，$\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$$\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt3}$让我们考虑左侧，$\cos 2 \theta=\cos 60^{\circ}$$=\frac{1}{2}$让我们考虑右侧，$\frac{1-\tan^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{1-\tan^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$$=\frac{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}$$=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$$=\frac{\frac{3-1}{3}}{\frac{3+1}{3}}$$=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}$$=\frac{2}{4}$$=\frac{1}{2}$左侧 = 右侧因此得证。 阅读更多