如果$\theta=30^{\circ}$，验证：$\tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}$

已知

$\theta=30^{\circ}$

要求

我们需要验证$\tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}$。

解答：  

$\tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}$

这意味着，

$\tan 2(30^{\circ})=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}$

$\tan 60^{\circ}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}$

我们知道，

$\tan 60^{\circ}=\sqrt3$

$\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt3}$

让我们考虑左边（LHS），

$\tan 2 \theta=\tan 60^{\circ}$

$=\sqrt3$

让我们考虑右边（RHS），

$\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}$

$=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$

$=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2}$

$=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$=\sqrt{3}$

LHS = RHS

因此得证。

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更新于： 2022年10月10日

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