如果$\theta=30^{\circ}$，验证以下等式：$\sin 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$

已知

$\theta=30^{\circ}$

要求

我们需要验证$\sin 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$。

解答：  

$\sin 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$

这意味着，

$\sin 2(30^{\circ})=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$

$\sin 60^{\circ}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$

我们知道，

$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$

$\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt3}$

让我们考虑左边（LHS），

$\sin 2 \theta=\sin 60^{\circ}$

$=\frac{\sqrt3}{2}$

让我们考虑右边（RHS），

$\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$

$=\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{3}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$

$=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4}$

$=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}$

LHS = RHS

因此得证。 

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更新于： 2022年10月10日

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