如果$\theta=30^{\circ}$，验证：$\cos 2 \theta=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$

已知

$\theta=30^{\circ}$

要求

我们必须验证$\cos 2 \theta=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$.

解答：  

$\cos 2 \theta=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$

这意味着：

$\cos 2(30^{\circ})=\frac{1-\tan^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$

$\cos 60^{\circ}=\frac{1-\tan^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$

我们知道：

$\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$

$\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt3}$

考虑左边 (LHS):

$\cos 2 \theta=\cos 60^{\circ}$

$=\frac{1}{2}$

考虑右边 (RHS):

$\frac{1-\tan^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{1-\tan^{2} 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}$

$=\frac{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}$

$=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$

$=\frac{\frac{3-1}{3}}{\frac{3+1}{3}}$

$=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}$

$=\frac{2}{4}$

$=\frac{1}{2}$

LHS = RHS

证毕。 

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更新于： 2022年10月10日

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