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已知：点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 在同一条直线上。 需要证明：\( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \)。证明：设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。我们知道，如果点 A、B 和 C 共线，则 $\triangle ABC$ 的面积为零。顶点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 的三角形的面积由下式给出：面积 = $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$因此，三角形 ABC 的面积 = $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$ \( 0=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \) \( x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})=0 \)除以 \( x_{1} x_{2} x_{3} \)，得到 \( \frac{x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}+\frac{x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}+\frac{x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}=0 \) \( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \)因此…阅读更多
已知：平行四边形的三个顶点为 A (2, 4), B (2 + √3, 5) 和 C (2, 6)。需要求：平行四边形的面积。解：连接 A 和 C，得到两个面积相等的三角形 ABC 和 ADC。我们知道，对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形。这意味着，平行四边形 ABCD 的面积 = 三角形 ABC 的面积 + 三角形 ADC 的面积 = 2 × 三角形 ABC 的面积。我们知道，顶点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 的三角形的面积由下式给出：面积 = $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$因此，三角形 ABC 的面积 = $\frac{1}{2}[2(5-6)+(2+\sqrt3)(6-4)+2(4-5)]$ \( =\frac{1}{2}[2(-1)+(2+\sqrt3)(2)+2(-1)] \) \( =\frac{1}{2}[-2+4+2\sqrt3-2] \) \( =\frac{1}{2} \times (2\sqrt3) ... 阅读更多
已知：点 $(3k – 1, k – 2), (k, k – 7)$ 和 $(k – 1, -k – 2)$ 共线。需要求：$k$ 的值。解：设 $A (3k-1, k-2), B (k, k-7)$ 和 $C (k-1, -k-2)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。我们知道，如果点 A、B 和 C 共线，则 $\triangle ABC$ 的面积为零。顶点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 的三角形的面积由下式给出：面积 = $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$因此，三角形 ABC 的面积 = $\frac{1}{2}[(3k-1)(k-7+k+2)+k(-k-2-k+2)+(k-1)(k-2-k+7)]$ \( 0=\frac{1}{2}[(3k-1)(2k-5)+k(-2k)+(k-1)(5)] \) \( 0(2)=(6k^2-15k-2k+5-2k^2+5k-5) \) \( 0=4k^2-12k \) \( 4k(k-3)=0 \) \( 4k=0 \) 或 \( k-3=0 \) \( ... 阅读更多
已知：点 A (-1, -4), B (b, c) 和 C (5, -1) 共线且 2b + c = 4。需要求：b 和 c 的值。解：设 A (-1, -4), B (b, c) 和 C (5, -1) 为 $\triangle ABC$ 的顶点。$2b+c=4$ $\Rightarrow c=4-2b$......(i)我们知道，如果点 A、B 和 C 共线，则 $\triangle ABC$ 的面积为零。顶点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 的三角形的面积由下式给出：面积 = $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$因此，三角形 ABC 的面积 = $\frac{1}{2}[-1(c+1)+b(-1+4)+5(-4-c)]$ \( 0=\frac{1}{2}[-c-1+3b-20-5c] \) \( 0(2)=(3b-6c-21) \) \( 0=3(b-2c-7) \) \( b-2c=7 \) \( b-2(4-2b)=7 \) ... 阅读更多
已知：点 A (1, -2), B (2, 3), C (a, 2) 和 D (-4, -3) 构成一个平行四边形。需要求：a 的值以及以 AB 为底的平行四边形的高度。解：从 D 点向 AB 作垂线，垂足为 P。DP 为平行四边形的高度。我们知道，平行四边形的对角线互相平分。这意味着，AC 的中点 = BD 的中点。连接两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的线段的中点是 $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ \( (\frac{1+a}{2}, ... 阅读更多
已知，物体在地球上的质量 = 5 kg，物体在地球上的重量 = 49 N，${g}_{m}=\frac{1}{6}{g}_{e}$ (${g}_{m}$ 为月球重力，${g}_{e}$ 为地球重力加速度)。需要求：月球上的质量和重量。解：我们知道，$W=mg$，其中 W 为重量，m 为质量，g 为重力加速度。${W}_{e}=m{g}_{e}$ $49=5\times {g}_{e}$ ${g}_{e}=9.8m/{s}^{2}$因此，地球上的重力加速度为 9.8 m/s2。根据给定的关系，${g}_{m}=\frac{1}{6}{g}_{e}=\frac{1}{6}\times {9.8}$ ${g}_{m}=1.633m/s^2$因此，月球上的重力加速度为 1.633 m/s2。$\therefore 月球上的重量 = m{g}_{m}$ ... 阅读更多
已知：车辆里程表初始读数 = 153375 公里，车辆里程表最终读数 = 153725 公里。需要求：距离、总时间、平均速度。解：(a) 距离 汽车行驶距离 = (车辆里程表初始读数 - 车辆里程表最终读数) 汽车行驶距离 = 153725 - 153375 公里 = 350公里 (b) 总时间 汽车于上午 10:30 出发，凌晨 2:00 停止。因此，从上午 10:30 到凌晨 2:00 的时间 = 15小时又20分钟 = 15又1/3小时 (c) 平均速度 要计算速度，首先需要计算速度。我们知道 - 平均... 阅读更多
已知：从1到100的自然数。 求：从1到100有多少个自然数。 解： 从1到100的自然数为：1, 2, 3, 4, ......, 100。 这是一个等差数列，首项a=1，末项l=100，公差d=1。 求n=? 已知，l=a+(n-1)d ⇒ 100=1+(n-1)1 ⇒ n-1=100-1 ⇒ n=100 因此，从1到100共有100个自然数。
已知：学校和学生家之间的距离是1公里875米。她每天往返步行。 求：她六天一共走的路程。 解： 学校和学生家之间的距离 = 1公里 875米 = 1000米 + 875米 = 1875米 [∵ 1公里 = 1000米] ∵ 学生每天往返步行， 则学生一天走的路程 = 2 × 1875 = 3750 米 因此，学生六天走的路程 = 6 × 3750 = 22500 米 = 22500/1000 公里 = 22公里 500米 因此，学生六天一共走的路程是22公里500米。
(a) 自然界中不能分解成无毒或无害物质的废物称为不可生物降解废物。例如——滴滴涕和塑料。(b) 动物骨骼和皮带是可生物降解材料。