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已知：物体距离，$u$ = $-$20 米 (负号，由于镜面的符号约定)焦距，$f$ = $-$10 米 (负号，由于镜面的符号约定)求：像距，$v$。解答：根据镜面公式，我们知道：-$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$$\Rightarrow \frac{1}{v}+\frac{1}{(-20)}=\frac{1}{(-10)}$$\Rightarrow \frac{1}{v}-\frac{1}{20}=-\frac{1}{10}$$\Rightarrow \frac{1}{v}=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$\Rightarrow \frac{1}{v}=\frac{-2+1}{20}$$\Rightarrow \frac{1}{v}=\frac{-1}{20}$$\Rightarrow v=-20m$因此，像距为 -20 米。此处，负号表示像形成在镜面的左侧。因此，这是一个位于镜面 20 米处的实像和倒立的像。阅读更多
(a) 如果放大倍数带正号，则像是虚像和正立的。 (b) 如果放大倍数带负号，则像是实像和倒立的。解释放大倍数是指球面镜（凹面镜或凸面镜）产生的图像尺寸相对于物体尺寸的增加。它被认为是镜面反射形成的图像高度与物体高度之比。它也以像距和物距来表示，定义为像距与极点（或光心）... 阅读更多
已知：$A (6, 1), B (8, 2)$ 和 $C (9, 4)$ 是平行四边形 $ABCD$ 的三个顶点。$E$ 是 $DC$ 的中点。要求：我们需要求 $\triangle ADE$ 的面积。解答：设平行四边形的第四个顶点为 (x, y)。我们知道，平行四边形的对角线互相平分。连接两点\( (x_{1}, y_{1}) \) 和 \( (x_{2}, y_{2}) \) 的线段的中点为\((\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}) \)BD 的中点 = AC 的中点\( \Rightarrow (\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2}) \)\( =(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}) \) \( \Rightarrow (\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2})=(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}) \)比较后，我们得到， \( \frac{8+x}{2}=\frac{15}{2} \) \( ... 阅读更多
已知：$D (\frac{−1}{2}, \frac{5}{2}), E (7, 3)$ 和 $F (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$ 是 $\triangle ABC$ 三边的中点。要求：我们需要求 $\triangle ABC$ 的面积。解答：设 \( A=\left(x_{1}, y_{1}\right), B=\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 和 \( C=\left(x_{3}, y_{3}\right) \) 是 \( \Delta A B C \) 的顶点。连接两点 \( (x_{1}, y_{1}) \) 和 \( (x_{2}, y_{2}) \) 的线段的中点为 \( (\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}) \) \( D\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right) \) 是 \( \mathrm{BC} \) 的中点。 \( \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=-\frac{1}{2} \)\( \Rightarrow x_{2}+x_{3}=-1 \)......(i) \( \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=\frac{5}{2} \) \( \Rightarrow y_{2}+y_{3}=5 \).......(a)类似地， \( \mathrm{E}(7, 3) \) 是 ... 阅读更多
已知：三角形的顶点为 $(2, 1), (3, -2)$ 和 $(\frac{7}{2}, y)$，其面积为 5 平方单位。要求：我们需要求 $y$ 的值。解答：设 $A(2, 1), B(3, -2)$ 和 $C(\frac{7}{2}, y)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。我们知道，顶点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 的三角形的面积由下式给出： 三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$因此，三角形 \( ABC\) 的面积 \( =\frac{1}{2}[2(-2-y)+3(y-1)+\frac{7}{2}(1+2)] \)\( \pm 5=\frac{1}{2}[-4-2y+3y-3+\frac{7}{2}(3)] \)\( \pm 5(2)=(y-7+\frac{21}{2}) \)\( \pm 10+7-\frac{21}{2}=y \)\( y=\frac{2(17)-21}{2} \) 或 \( y=\frac{2(-3)-21}{2} \)\( y=\frac{34-21}{2} \) 或 \( y=\frac{-6-21}{2} \)\( y=\frac{13}{2} \) 或 \( y=\frac{-27}{2} \)y 的值为 $\frac{13}{2}$ 或 ... 阅读更多
已知：给定点为 $(a, 0), (0, b)$ 和 $(1, 1)$。$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$。要求：我们需要证明给定点共线。解答：设 $A(a, b), B(a_1, b_1)$ 和 $C(a-a_1, b-b_1)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$$\Rightarrow \frac{b+a}{ab}=1$$\Rightarrow a+b=1(ab)$$\Rightarrow ab-a-b=0$.......(i)我们知道，如果点 $A, B$ 和 $C$ 共线，则 $\triangle ABC$ 的面积为零。顶点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 的三角形的面积由下式给出： 三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$因此，三角形 \( ABC\) 的面积 \( =\frac{1}{2}[a(b-1)+0(1-0)+1(0-b)] \)\( =\frac{1}{2}[ab-a+0-b] \)\( =\frac{1}{2}[ab-a-b] \)\( =0\) (来自 (i))因此，点 $A, B$ 和 $C$ 共线。因此 ... 阅读更多
已知：点 A 将 $P (-5, 1)$ 和 $Q (3, 5)$ 的连线按 $k:1$ 的比例分割。$\triangle ABC$ 的面积（其中 $B$ 为 $(1, 5)$，$C$ 为 $(7, -2)$）等于 2 个单位。要求：我们需要求 $k$ 的两个值。解答：设 A 的坐标为 $(x, y)$，它将 $P (-5, 1)$ 和 $Q (3, 5)$ 的连线按 $k:1$ 的比例分割。 A 的坐标为 \( \left(\frac{k \times 3+1 \times(-5)}{k+1}, \frac{k(5)+1(1)}{k+1}\right) \)\( =\left(\frac{3 k-5}{k+1}, \frac{5 k+1}{k+1}\right) \)$A(\frac{3 k-5}{k+1}, \frac{5 k+1}{k+1}), B(1, 5)$ 和 $C(7, -2)$ 是 $\triangle ... 阅读更多
已知：三角形的面积为 5。它的两个顶点为 $(2, 1)$ 和 $(3, -2)$。第三个顶点位于 $y = x + 3$ 上。要求：我们需要求第三个顶点。解答：设 $A(2, 1), B(3, -2)$ 和 C(x, y)$ 为 $\triangle ABC$ 的顶点。我们知道，顶点为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 的三角形的面积由下式给出： 三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$因此，三角形 \( ABC\) 的面积 \( =\frac{1}{2}[2(-2-y)+3(y-1)+x(1+2)] \)\( 5=\frac{1}{2}[-4-2y+3y-3+3x] \)\( 5(2)=(y-7+3x) \)\( 10+7=3x+y \)\( 3x+y=17 \)第三个顶点位于 $y = x + 3$ 上。这意味着， \( y=x+3 \)\( \Rightarrow 3x+(x+3)=17 \)\( \Rightarrow 4x=17-3 \)\( ... 阅读更多
已知：给定点为 $(a, a^2), (b, b^2), (c, c^2)$。$a ≠ b ≠ c$
已知：给出四个点 $A (6, 3), B (-3, 5), C (4, -2)$ 和 $D (x, 3x)$，使得 $\frac{\triangle DBC}{\triangle ABC}=\frac{1}{2}$。