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已知：给定的二次方程为 $(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0, p ≠ -1$。求解：我们需要找到 p 的值，使得给定的二次方程具有相等根。解： $(p + 1)x^2 - 6(p + 1)x + 3(p + 9) = 0, p ≠ -1$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=p+1, b=-6(p+1)$ 和 $c=3(p+9)$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=[-6(p+1)]^2-4(p+1)(3(p+9))$$D=36(p+1)^2-12(p+1)(p+9)$$D=36(p^2+2p+1)-12(p^2+p+9p+9)$$D=36p^2+72p+36-12p^2-120p-108$$D=24p^2-48p-72$如果 $D=0$，则给定的二次方程具有相等根。因此， $24p^2-48p-72=0$$24(p^2-2p-3)=0$$p^2-2p-3=0$$p^2-3p+p-3=0$$p(p-3)+1(p-3)=0$$(p+1)(p-3)=0$$p+1=0$ 或 $p-3=0$$p=-1$ 或 $p=3$p 的值为 ... 阅读更多
已知：给定的二次方程为 $(x-2a)(x-2b)=4ab$。求解：我们需要确定给定二次方程的根的性质。解：$(x-2a)(x-2b)=4ab$$x^2-2ax-2bx-2a(-2b)=4ab$$x^2-(2a+2b)x+4ab=4ab$$x^2-2(a+b)x=0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=1, b=-2(a+b)$ 和 $c=0$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=[-2(a+b)]^2-4(1)(0)$$D=4(a+b)^2-0$$D=[2(a+b)]^2>0$ (数字的平方为正数)因此，给定二次方程的根是实数且不相等。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $9a^2b^2x^2-24abcdx+16c^2d^2=0, a≠0, b≠0$。求解：我们需要确定给定二次方程的根的性质。解：$9a^2b^2x^2-24abcdx+16c^2d^2=0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=9a^2b^2, b=-24abcd$ 和 $c=16c^2d^2$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=(-24abcd)^2-4(9a^2b^2)(16c^2d^2)$$D=576(abcd)^2-576(abcd)^2$$D=0$因此，给定二次方程的根是实数且相等。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$。求解：我们需要确定给定二次方程的根的性质。解：$2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=2(a^2+b^2), b=2(a+b)$ 和 $c=1$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=[2(a+b)]^2-4[2(a^2+b^2)](1)$$D=4(a+b)^2-8(a^2+b^2)$$D=4a^2+4b^2-8ab-8a^2-8b^2$$D=-4a^2-4b^2-8ab$$D=-4(a^2+2ab+b^2)$$D=-4(a+b)^2阅读更多
已知：给定的二次方程为 $(b+c)x^2-(a+b+c)x+a=0$。求解：我们需要确定给定二次方程的根的性质。解：$(b+c)x^2-(a+b+c)x+a=0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=(b+c), b=-(a+b+c)$ 和 $c=a$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=[-(a+b+c)]^2-4(b+c)(a)$$D=(a+b+c)^2-4a(b+c)$$D=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-4ab-4ac$$D=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca$$D=(-a+b+c)^2$ (数字的平方为正数)因此，给定二次方程的根是实数且不相等。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $x^2 - kx + 9 = 0$。求解：我们需要找到 k 的值，使得给定的二次方程具有实数根。解：$x^2 - kx + 9 = 0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=1, b=-k$ 和 $c=9$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=(-k)^2-4(1)(9)$$D=k^2-36$如果 $D≥0$，则给定的二次方程具有实数根。因此， $k^2-36≥0$ $k^2-(6)^2≥0$ $(k+6)(k-6)≥0$ $k≤-6$ 或 $k≥6$k 的值为 $k≤-6$ 和 $k≥6$。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $2x^2 + kx + 2 = 0$。求解：我们需要找到 k 的值，使得给定的二次方程具有实数根。解：$2x^2 + kx + 2 = 0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=2, b=k$ 和 $c=2$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=(k)^2-4(2)(2)$$D=k^2-16$如果 $D≥0$，则给定的二次方程具有实数根。因此， $k^2-16≥0$$k^2-(4)^2≥0$$(k+4)(k-4)≥0$$k≤-4$ 或 $k≥4$k 的值为 $k≤-4$ 和 $k≥4$。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $4x^2 - 3kx + 1 = 0$。求解：我们需要找到 k 的值，使得给定的二次方程具有实数根。解：$4x^2 - 3kx + 1 = 0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=4, b=-3k$ 和 $c=1$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=(-3k)^2-4(4)(1)$$D=9k^2-16$如果 $D≥0$，则给定的二次方程具有实数根。因此， $9k^2-16≥0$$(3k)^2-(4)^2≥0$$(3k+4)(3k-4)≥0$$3k≤-4$ 或 $3k≥4$$k≤\frac{-4}{3}$ 或 $k≥\frac{4}{3}$k 的值为 $k≤\frac{-4}{3}$ 和 $k≥\frac{4}{3}$。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $2x^2 + kx - 4 = 0$。求解：我们需要找到 k 的值，使得给定的二次方程具有实数根。解：$2x^2 + kx - 4 = 0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=2, b=k$ 和 $c=-4$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=(k)^2-4(2)(-4)$$D=k^2+32$如果 $D≥0$，则给定的二次方程具有实数根。对于 k 的任何实数值，$k^2+32>0$。因此， $k∈R$。
已知：给定的二次方程为 $(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$。给定二次方程的根相等。求解：我们需要证明 $2b=a+c$。解：$(b-c)x^2+(c-a)x+(a-b)=0$将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到，$a=(b-c), b=(c-a)$ 和 $c=(a-b)$。二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=(c-a)^2-4(b-c)(a-b)$$D=c^2+a^2-2ac-4ab+4b^2+4ca-4bc$$D=a^2+4b^2+c^2+2ac-4ab-4bc$$D=(a-2b+c)^2$ ($(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$)如果 $D=0$，则给定的二次方程具有相等根。这意味着， $(a-2b+c)^2=0$$a-2b+c=0$$a+c=2b$证毕。阅读更多