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已知：给定的二次方程为 $(a^2+b^2)x^2-2(ac+bd)x+(c^2+d^2)=0$。给定二次方程的根相等。 目标：我们必须证明 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。 解：将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=(a^2+b^2)$，$b=-2(ac+bd)$ 和 $c=(c^2+d^2)$。标准形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=[-2(ac+bd)]^2-4(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ $D=4(a^2c^2+2abcd+b^2d^2)-4(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2)$ $D=4a^2c^2+8abcd+4b^2d^2-4a^2c^2-4a^2d^2-4b^2c^2-4b^2d^2$ $D=8abcd-4a^2d^2-4b^2c^2$ 如果给定的二次方程有相等的根，则 $D=0$。这意味着，$8abcd-4a^2d^2-4b^2c^2=0$ $4a^2d^2+4b^2c^2-8abcd=0$ $(2ad-2bc)^2=0$ $2ad-2bc=0$ $2ad=2bc$ $ad=bc$ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 证毕。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $ax^2+2bx+c=0$ 和 $bx^2-2\sqrt{ac}x+b=0$。给定二次方程的根同时为实数。 目标：我们必须证明 $b^2=ac$。 解：设 $D_1$ 是 $ax^2+2bx+c=0$ 的判别式，$D_2$ 是 $bx^2-2\sqrt{ac}x+b=0$ 的判别式。标准形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。 因此，$D_1=(2b)^2-4(a)(c)$ $D_1=4b^2-4ac$ $D_2=(-2\sqrt{ac})^2-4(b)(b)$ $D_2=4ac-4b^2$ 如果给定的二次方程有实数根，则 $D_1≥0$ 且 $D_2≥0$。这意味着，$4b^2-4ac≥0$ 且 $4ac-4b^2≥0$ $b^2-ac≥0$ 且 $ac-b^2≥0$ $b^2≥ac$ 且 $ac≥b^2$ 因此，$b^2=ac$ 证毕。阅读更多
已知：给定的二次方程是 $(p-q)x^2+5(p+q)x-2(p-q)=0$。p，q 为实数且 p≠q。 目标：我们必须证明给定二次方程的根是实数且不相等。 解：将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=(p-q)$，$b=5(p+q)$ 和 $c=-2(p-q)$。标准形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。 $D=[5(p+q)]^2-4(p-q)[-2(p-q)]$ $D=25(p+q)^2+8(p-q)^2$ $D>0$ (一个正数乘以一个平方是正数，且 p≠q) 因此，给定二次方程的根是实数且不相等。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $(c^2-ab)x^2-2(a^2-bc)x+b^2-ac=0$。给定二次方程的根相等。 目标：我们必须证明 $a=0$ 或 $a^3+b^3+c^3=3abc$。 解：将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=(c^2-ab)$，$b=-2(a^2-bc)$ 和 $c=(b^2-ac)$。标准形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。 $D=[-2(a^2-bc)]^2-4(c^2-ab)(b^2-ac)$ $D=4(a^4-2a^2bc+b^2c^2)-4(b^2c^2-ac^3-ab^3+a^2bc)$ $D=4a^4-8a^2bc+4b^2c^2-4b^2c^2+4ac^3+4ab^3-4a^2bc$ $D=4a^4+4ac^3+4ab^3-12a^2bc$ $D=4a(a^3+c^3+b^3-3abc)$ 如果给定的二次方程有相等的根，则 $D=0$。这意味着，$4a(a^3+c^3+b^3-3abc)=0$ $4a=0$ 或 $a^3+c^3+b^3-3abc=0$ $a=0$ 或 $a^3+c^3+b^3=3abc$ 证毕。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$ 且 $a≠b$。 目标：我们必须证明方程 $2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$ 没有实数根。 解：将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=2(a^2+b^2)$，$b=2(a+b)$ 和 $c=1$。标准形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。 $D=[2(a+b)]^2-4[2(a^2+b^2)](1)$ $D=4(a^2+2ab+b^2)-8(a^2+b^2)$ $D=4(a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2)$ $D=4(-a^2+2ab-b^2)$ $D=-4(a^2-2ab+b^2)$ $D=-4(a-b)^2$ $D<0$ (因为 $(a-b)^2>0$ 且 $a≠b$) 因此，方程 $2(a^2+b^2)x^2+2(a+b)x+1=0$ 没有实数根。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$。 目标：我们必须证明方程 $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ 的两个根都是实数，但只有当 $a=b=c$ 时它们才相等。 解：$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ $x^2-ax-bx+ab+x^2-bx-cx+bc+x^2-cx-ax+ac=0$ $3x^2+(-a-b-b-c-c-a)x+(ab+bc+ca)=0$ $3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0$ 将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=3$，$b=-2(a+b+c)$ 和 $c=(ab+bc+ca)$。标准形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。 $D=[-2(a+b+c)]^2-4(3)(ab+bc+ca)$ $D=4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-12(ab+bc+ca)$ $D=4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca)$ $D=4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $D=2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$ $D=2(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+c^2)$ $D=2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$ $D>0$ 或当 $a=b=c$ 时 $D=0$ 因此，方程 $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ 的根都是实数，但只有当 $a=b=c$ 时它们才相等。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$，$a, b, c$ 是实数，且 $ac≠0$。 目标：我们必须证明方程 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$ 中至少有一个方程有实数根。 解：设 $D_1$ 是 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式，$D_2$ 是 $-ax^2+bx+c=0$ 的判别式。标准形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。 因此，$D_1=(b)^2-4(a)(c)$ $D_1=b^2-4ac$ $D_2=(b)^2-4(-a)(c)$ $D_2=b^2+4ac$ $D_1+D_2=b^2-4ac+b^2+4ac$ $D_1+D_2=2b^2$ $D_1+D_2≥0$ (因为 b 是实数) 这意味着，$D_1$ 和 $D_2$ 中至少有一个大于或等于零。因此，方程 $ax^2+bx+c=0$ 和 $-ax^2+bx+c=0$ 中至少有一个方程有实数根。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $(1+m^2)x^2+2mcx+(c^2-a^2)=0$。给定二次方程的根相等。 目标：我们必须证明 $c^2=a^2(1+m^2)$。 解：将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=(1+m^2)$，$b=2mc$ 和 $c=(c^2-a^2)$。标准形式的二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。 $D=(2mc)^2-4(1+m^2)(c^2-a^2)$ $D=4m^2c^2-4(c^2-a^2+m^2c^2-m^2a^2)$ $D=4(m^2c^2-c^2+a^2-m^2c^2+m^2a^2)$ $D=4(m^2a^2+a^2-c^2)$ 如果给定的二次方程有相等的根，则 $D=0$。这意味着，$4(m^2a^2+a^2-c^2)=0$ $m^2a^2+a^2-c^2=0$ $a^2(m^2+1)=c^2$ $c^2=a^2(1+m^2)$ 证毕。阅读更多
已知，总振动次数 = 200 次，总时间 = 16 秒。 求：频率和周期。 我们知道，频率 $(f) = \frac{振动/摆动次数}{时间} = \frac{200}{16} = 12.5 Hz$ 周期 $(t) = \frac{1}{频率(f)} = \frac{1}{12.5} = 0.08 秒$ 因此，频率 = 12.5 Hz，周期 = 0.08 秒。
运动类型示例1. 直线运动汽车沿直线行驶。2. 圆周运动风车叶片的运动。3. 周期运动滴答作响的钟，弹跳的球。4. 振动运动单摆的运动，弹簧的运动。5. 转动运动地球绕其自身轴线的旋转，陀螺的旋转。