能量谱密度 信号在频域中的能量分布称为能量谱密度 (ESD) 或能量密度 (ED) 或能量密度谱。ESD 函数用 $\mathrm{\mathit{\psi \left ( \omega \right )}}$ 表示，由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{\psi \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}}}$$ 对于能量信号，能量谱密度曲线（作为频率的函数绘制）下的总面积等于信号的总能量。解释考虑一个线性系统，其输入为 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 和输出为 $\mathrm{\mathit{y\left ( \mathit{t} \right )}}$ ... 阅读更多

什么是自相关？信号的自相关函数定义为衡量信号与其时间延迟版本之间相似性或一致性的度量。因此，自相关是信号与自身的相关性。自相关函数分别针对能量信号或非周期信号以及功率信号或周期信号定义。能量信号的自相关函数能量信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的自相关函数定义为 −$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{11}}\left ( \tau \right )\mathrm{=}R\left ( \tau \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )x^{\ast }\left ( t-\tau \right )dt\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t\mathrm{+ }\tau \right )x^{\ast }\left ( t \right ... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( \mathrm{t} \right ) \right ]}\mathrm{=} \mathit{X\left ( s \right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}\mathit{x\left ( \mathrm{t} \right )e^{-st}\; dt}\; \; ...\left ( 1 \right )}$$ 公式 (1) 给出了函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的双边拉普拉斯变换。但是对于因果信号，则采用单边拉普拉斯变换，其... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( \mathrm{t} \right ) \right ]}\mathrm{=} \mathit{X\left ( s \right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}\mathit{x\left ( \mathrm{t} \right )e^{-st}\; dt}\; \; ...\left ( 1 \right )}$$ 其中，𝑠 是一个复变量，由下式给出： $$\mathrm{s = \sigma + j\omega }$$ 运算符 L 称为拉普拉斯变换运算符，它将... 阅读更多

拉普拉斯变换线性时不变 (LTI) 系统由微分方程描述。拉普拉斯变换是一种数学工具，它将时域中的微分方程转换为频域 (或 s 域) 中的代数方程。如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是一个时间函数，则该函数的拉普拉斯变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}X\left ( s \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt\; \; \cdot \cdot \cdot\left ( \mathrm{1} \right ) }}$$ 其中，s 是一个复变量，由下式给出： $$\mathrm{\mathit{s\mathrm{=}\sigma \mathrm{+ }j\omega }}$$ 拉普拉斯逆变换... 阅读更多

Z 变换Z 变换 (ZT) 是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间信号或序列，则其双边或双侧 Z 变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$ 其中，z 是一个复变量。此外，单边或单侧 z 变换定义为 − $$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$ 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一个连续时间函数，则其拉普拉斯变换定义为 − $$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$ 公式... 阅读更多

离散时间傅里叶变换离散时间信号的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。DTFT 将时域序列转换为频域信号。离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 DTFT 由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-j\omega n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$ Z 变换Z 变换是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。数学上，离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 Z 变换由下式给出： $$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$ DTFT 和 Z 变换之间的关系由于离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 DTFT 由下式给出： $$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$ 为了使 DTFT 存在，序列... 阅读更多

信号能量信号$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的能量定义为该信号幅度平方的曲线下面积，即：

$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}}$$ 能量信号仅在信号的能量 (E) 有限时存在，即仅当 0 < E < $\infty$ 时存在。瑞利能量定理陈述 - 瑞利能量定理指出，函数幅度平方的积分（即函数的能量）等于其傅里叶变换幅度平方的积分，即： $$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|^{\mathrm{2}}\:\mathit{d\omega }}$$ 证明考虑一个函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，其傅里叶变换……阅读更多

Z 变换Z 变换 (ZT) 是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间信号或序列，则其双边或双侧 Z 变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$ 其中，z 是一个复变量。Z 变换的收敛域 (ROC)z 平面中使离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 Z 变换，即 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 收敛的点集称为 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 的收敛域 (ROC)。Z 变换的 ROC 性质Z 变换的收敛域 (ROC) 具有以下性质 -Z 变换的ROC……阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}}$$ 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换是从其拉普拉斯变换中获得时域函数的方法，数学上定义为 − $$\mathrm{\mathit{L}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi \mathit{j}}\int_{\mathrm{\left ( \sigma -\mathit{j\infty} \right )}}^{\mathrm{\left (\mathit{\sigma \mathrm{+}\mathit{j}\infty}\right )}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{e^{st}}\:\mathit{ds}}$$ 拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理陈述 - 拉普拉斯变换的帕塞瓦尔定理或帕塞瓦尔关系指出，如果， $$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$ 其中，$\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 和 $\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是……阅读更多