Z 变换Z 变换是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为频域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 是一个离散时间序列，那么它的 Z 变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$ 其中，z 是一个复变量。公式 (1) 中定义的 Z 变换称为双边或双侧 Z 变换。单边或单侧 Z 变换定义为 −$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }\mathrm{0}}^{\infty }x\left ( ... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$ 公式 (1) 给出了函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt }}$$ 拉普拉斯变换的时间反转性质陈述 - 拉普拉斯变换的时间反转性质指出，如果一个信号在时间上关于原点垂直轴反转，... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt\; \; \cdot \cdot \cdot\left ( \mathrm{1} \right ) }}$$ 公式 (1) 给出了函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，单边... 阅读更多

反 Z 变换反 Z 变换定义为从其 Z 变换 $\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$ 找到时域信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 的过程。反 Z 变换表示为 −

$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }Z^{-\mathrm{1}}\left [ X\left ( z \right ) \right ]}}$$ 由于 Z 变换定义为， $$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$ 其中，z 是一个复变量，由下式给出： $$\mathrm{\mathit{z\mathrm{\, =\, }r\, e^{j\, \omega }}}$$ 其中，r 是... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$ 使用拉普拉斯变换求解微分方程线性时不变 (LTI) 系统由常系数微分方程描述，这些方程将系统的输入和输出联系起来。LTI 系统的响应是通过求解这些微分方程获得的。拉普拉斯变换技术可用于求解描述... 阅读更多

Z 变换Z 变换是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。数学上，离散时间信号或序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 Z 变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$ Z 变换的性质下表突出显示了 Z 变换的一些重要性质：性质时域z 域收敛域 (ROC)符号$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$线性与叠加$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}\:\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}}$时间平移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$\mathrm{\mathit{z}^{-\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathrm{与}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{相同，除了}\:\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}}$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathit{k}}\right)}}$$\mathrm{\mathit{z}^{\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathrm{与}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{相同，除了}\:\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\infty}}$z 域缩放$\mathrm{\mathit{a}^{\mathit{n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}\right )}}$$\mathrm{\left|\mathit{a}\right|\mathit{R}_{\mathrm{1}}阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。在数学上，时域函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的拉普拉斯变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\mathrm{\infty} }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$ 其中，s 是一个复变量，由下式给出： $$\mathrm{\mathit{s}\:\mathrm{=}\:\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}}$$ 运算符 L 称为拉普拉斯变换运算符，它将时域函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 转换为频域函数 X(s)。拉普拉斯变换的性质下表突出显示了拉普拉斯变换的一些重要性质：性质函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$拉普拉斯变换 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$符号$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$标量乘法$\mathrm{\mathit{k}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{k}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$线性$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{s }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$时间平移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}}$$\mathrm{\mathit{e}^{- ... 阅读更多

离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换是一种数学工具，用于将离散时间序列转换为频域。因此，离散时间信号或序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间序列，则该序列的离散时间傅里叶变换定义为 −

$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}}$$ 离散时间傅里叶变换的性质下表给出了离散时间傅里叶变换的重要性质：性质离散时间序列DTFT符号$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$线性$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$时间平移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$\mathrm{\mathit{e}^{\mathit{-j\omega k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$频率平移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega} _{\mathrm{0}}\mathit{n}}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega -\omega _{\mathrm{0}}}\right)}}$时间反转$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}}$频率微分$\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$时间卷积$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:*\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$频率 ... 阅读更多

逆Z变换逆Z变换定义为从其Z变换 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 找到时域信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的过程。逆Z变换表示为 −

$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}}$$ 求逆Z变换的部分分式展开法为了使用部分分式展开法确定 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 的逆Z变换，$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 的分母必须处于因式分解形式。在这种方法中，我们获得 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 而不是 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 的部分分式展开。这是因为时域序列的Z变换在其分子中都有 Z。仅当 $\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$ 是一个真有理函数时，才应用部分分式展开法，即分子的阶数小于分母的阶数。 ... 阅读更多