数学归纳法

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数学归纳法是一种用于证明结果或建立自然数陈述的技术。本部分通过各种示例说明该方法。

定义

数学归纳法是一种数学技术，用于证明某个陈述、公式或定理对每个自然数都成立。

该技术涉及两个步骤来证明一个陈述，如下所示：

步骤1（基础步骤）- 它证明该陈述对于初始值成立。

步骤2（归纳步骤）- 它证明如果该陈述对于第n次迭代（或数字n）成立，则它也对于第(n+1)次迭代（或数字n+1）成立。

操作方法

步骤1 - 考虑一个陈述成立的初始值。需要证明该陈述对于n = 初始值成立。

步骤2 - 假设该陈述对于任何n = k的值都成立。然后证明该陈述对于n = k+1也成立。我们实际上将n = k+1分成两部分，一部分是n = k（这已经证明），并尝试证明另一部分。

问题1

$3^n-1$是2的倍数，其中n = 1, 2, ...

解答

步骤1 - 对于$n = 1, 3^1-1 = 3-1 = 2$，它是2的倍数

步骤2 - 让我们假设$3^n-1$对于$n=k$成立，因此，$3^k -1$成立（这是一个假设）

我们必须证明$3^{k+1}-1$也是2的倍数

$3^{k+1} - 1 = 3 \times 3^k - 1 = (2 \times 3^k) + (3^k - 1)$

第一部分$(2 \times 3^k)$必然是2的倍数，第二部分$(3^k -1)$根据我们之前的假设也成立。

因此，$3^{k+1} – 1$是2的倍数。

所以，证明了$3^n – 1$是2的倍数。

问题2

$1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2$，其中$n = 1, 2, \dots $

解答

步骤1 - 对于$n=1, 1 = 1^2$，因此，步骤1成立。

步骤2 - 让我们假设该陈述对于$n=k$成立。

因此，$1 + 3 + 5 + \dots + (2k-1) = k^2$成立（这是一个假设）

我们必须证明$1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1)-1) = (k+1)^2$也成立

$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1) - 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \dots + (2k+2 - 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \dots + (2k + 1)$

$= 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2k + 1)$

$= k^2 + (2k + 1)$

$= (k + 1)^2$

所以，$1 + 3 + 5 + \dots + (2(k+1) - 1) = (k+1)^2$成立，满足步骤2。

因此，证明了$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$。

问题3

证明$(ab)^n = a^nb^n$对每个自然数$n$都成立

解答

步骤1 - 对于$n=1, (ab)^1 = a^1b^1 = ab$，因此，步骤1成立。

步骤2 - 让我们假设该陈述对于$n=k$成立，因此，$(ab)^k = a^kb^k$成立（这是一个假设）。

我们必须证明$(ab)^{k+1} = a^{k+1}b^{k+1}$也成立

已知，$(ab)^k = a^k b^k$

或者， $(ab)^k (ab) = (a^k b^k ) (ab)$ [两边乘以'ab']

或者， $(ab)^{k+1} = (aa^k) ( bb^k)$

或者， $(ab)^{k+1} = (a^{k+1}b^{k+1})$

因此，步骤2得到证明。

所以，$(ab)^n = a^nb^n$对每个自然数n都成立。

强归纳法

强归纳法是数学归纳法的另一种形式。通过这种归纳技术，我们可以使用以下步骤证明命题函数$P(n)$对所有正整数$n$都成立：

• 步骤1（基础步骤）- 它证明初始命题$P(1)$成立。

• 步骤2（归纳步骤）- 它证明条件语句$[P(1) \land P(2) \land P(3) \land \dots \land P(k)] → P(k + 1)$对正整数$k$成立。