离散数学 - 概率

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与计数概念密切相关的是概率。我们经常尝试猜测机会游戏的结局，例如纸牌游戏、老虎机和彩票；即我们试图找到获得特定结果的可能性或概率。

概率可以被概念化为寻找事件发生的几率。从数学上讲，它是对随机过程及其结果的研究。概率定律在遗传学、天气预报、民意调查、股票市场等各种领域都有广泛的应用。

基本概念

概率论是由两位 17 世纪的法国数学家布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马发明的，他们当时正在处理有关机会的数学问题。

在深入了解概率细节之前，让我们先了解一些定义的概念。

随机实验 - 在其中所有可能的结果都是已知的并且无法提前预测确切输出的实验称为随机实验。抛掷一枚公平硬币就是一个随机实验的例子。

样本空间 - 当我们进行实验时，所有可能结果的集合 S 称为样本空间。如果我们抛掷一枚硬币，则样本空间 $S = \left \{ H, T \right \}$

事件 - 样本空间的任何子集都称为事件。抛掷硬币后，正面朝上是一个事件。

“概率”一词表示特定事件发生的几率。我们所能做的最好的就是利用概率的概念来表达它们发生的可能性。

$事件发生概率 = \frac{有利结果总数}{结果总数}$

由于任何事件发生的概率在 0% 到 100% 之间变化，因此概率在 0 到 1 之间变化。

寻找概率的步骤

步骤 1 - 计算实验的所有可能结果。

步骤 2 - 计算实验的有利结果数。

步骤 3 - 应用相应的概率公式。

抛掷硬币

如果抛掷一枚硬币，则有两种可能的结果 - 正面 $(H)$ 或反面 $(T)$

因此，结果总数 = 2

因此，正面 $(H)$ 朝上的概率为 1/2，反面 $(T)$ 朝上的概率为 1/2

掷骰子

当掷骰子时，六种可能的结果可以出现在上面 - $1, 2, 3, 4, 5, 6$。

任何一个数字出现的概率都是 1/6

出现偶数的概率为 3/6 = 1/2

出现奇数的概率为 3/6 = 1/2

从一副牌中抽取卡片

从一副 52 张牌中，如果抽取一张牌，求抽到 A 的概率，以及求抽到方块的概率。

可能结果总数 - 52

是 A 的结果 - 4

是 A 的概率 = 4/52 = 1/13

是方块的概率 = 13/52 = 1/4

概率公理

• 事件的概率始终在 0 到 1 之间变化。$[0 \leq P(x) \leq 1]$

• 对于不可能发生的事件，概率为 0，对于必然发生的事件，概率为 1。

• 如果一个事件的发生不受另一个事件的影响，则它们被称为互斥或不相交。

  如果 $A_1, A_2....A_n$ 是互斥/不相交事件，则 $P(A_i \cap A_j) = \emptyset $ 对于 $i \ne j$ 且 $P(A_1 \cup A_2 \cup.... A_n) = P(A_1) + P(A_2)+..... P(A_n)$

概率性质

• 如果存在两个互补事件 $x$ 和 $\overline{x}$，则互补事件的概率为 -

  $$p(\overline{x}) = 1-p(x)$$

• 对于两个非不相交事件 A 和 B，两个事件并集的概率 -

  $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

• 如果事件 A 是另一个事件 B 的子集（即 $A \subset B$），则 A 的概率小于或等于 B 的概率。因此，$A \subset B$ 意味着 $P(A) \leq p(B)$

条件概率

事件 B 的条件概率是在事件 A 已经发生的情况下事件发生的概率。这写成 $P(B|A)$。

数学上 - $ P(B|A) = P(A \cap B)/ P(A)$

如果事件 A 和 B 是互斥的，则事件 A 之后事件 B 的条件概率将是事件 B 的概率，即 $P(B)$。

问题 1

在一个国家，所有青少年中有 50% 拥有自行车，所有青少年中有 30% 拥有自行车和自行车。如果一个青少年拥有自行车，那么该青少年拥有自行车的概率是多少？

解决方法

假设 A 是青少年仅拥有自行车的事件，B 是青少年仅拥有自行车的事件。

因此，根据给定的问题，$P(A) = 50/100 = 0.5$ 且 $P(A \cap B) = 30/100 = 0.3$。

$P(B|A) = P(A \cap B)/ P(A) = 0.3/ 0.5 = 0.6$

因此，如果一个青少年拥有自行车，那么该青少年拥有自行车的概率为 60%。

问题 2

在一个班级中，所有学生中有 50% 打板球，所有学生中有 25% 打板球和排球。如果一个学生打板球，那么该学生打排球的概率是多少？

解决方法

假设 A 是学生仅打板球的事件，B 是学生仅打排球的事件。

因此，根据给定的问题，$P(A) = 50/100 =0.5$ 且 $P(A \cap B) = 25/ 100 =0.25$。

$P\lgroup B\rvert A \rgroup= P\lgroup A\cap B\rgroup/P\lgroup A \rgroup =0.25/0.5=0.5$

因此，如果一个学生打板球，那么该学生打排球的概率为 50%。

问题 3

六台好的笔记本电脑和三台有缺陷的笔记本电脑混合在一起。为了找到有缺陷的笔记本电脑，所有笔记本电脑都以随机的方式逐一进行测试。在第一次挑选的前两次中找到两台有缺陷的笔记本电脑的概率是多少？

解决方法

设 A 是我们在第一次测试中找到有缺陷的笔记本电脑的事件，B 是我们在第二次测试中找到有缺陷的笔记本电脑的事件。

因此，$P(A \cap B) = P(A)P(B|A) =3/9 \times 2/8 = 1/12$

贝叶斯定理

定理 - 如果 A 和 B 是两个互斥事件，其中 $P(A)$ 是 A 的概率，$P(B)$ 是 B 的概率，$P(A | B)$ 是给定 B 为真的情况下 A 的概率。$P(B | A)$ 是给定 A 为真的情况下 B 的概率，则贝叶斯定理指出 -

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{\sum_{i = 1}^{n}P(B|Ai)P(Ai)}$$

贝叶斯定理的应用

• 在样本空间的所有事件都是互斥事件的情况下。

• 在每个 $A_i$ 的 $P( A_i \cap B )$ 已知或每个 $A_i$ 的 $P( A_i )$ 和 $P(B|A_i)$ 已知的情况下。

问题

考虑三个笔筒。第一个笔筒包含 2 支红笔和 3 支蓝笔；第二个包含 3 支红笔和 2 支蓝笔；第三个包含 4 支红笔和 1 支蓝笔。每个笔筒被选中的概率相等。如果随机抽取一支笔，那么它是红笔的概率是多少？

解决方法

设 $A_i$ 是第 i 个笔筒被选中的事件。

这里，i = 1,2,3。

由于选择笔筒的概率相等，因此 $P(A_i) = 1/3$

设 B 是抽到红笔的事件。

从第一个笔筒的五支笔中选择一支红笔的概率，

$P(B|A_1) = 2/5$

从第二个笔筒的五支笔中选择一支红笔的概率，

$P(B|A_2) = 3/5$

从第三个笔筒的五支笔中选择一支红笔的概率，

$P(B|A_3) = 4/5$

根据贝叶斯定理，

$P(B) = P(A_1).P(B|A_1) + P(A_2).P(B|A_2) + P(A_3).P(B|A_3)$

$= 1/3 . 2/5\: +\: 1/3 . 3/5\: +\: 1/3 . 4/5$

$= 3/5$