布尔函数化简

使用代数函数化简

在这种方法中，一个布尔表达式通过应用布尔恒等式简化为一个等价的表达式。

问题 1

使用布尔恒等式最小化以下布尔表达式：

$$F (A, B, C) = A'B + BC'+ BC + AB'C'$$

解答

已知，$F (A, B, C) = A'B + BC'+ BC + AB'C'$

或，$F (A, B, C) = A'B + (BC'+ BC') + BC+ AB'C'$

[根据幂等律，BC’ = BC’ + BC’]

或，$F (A, B, C) = A'B + (BC'+ BC) + (BC'+ AB'C')$

或，$F (A, B, C) = A'B + B(C'+ C) + C'(B+ AB')$

[根据分配律]

或，$F (A, B, C) = A'B + B.1 + C'(B + A)$

[ (C' + C) = 1 且吸收律 (B + AB')= (B + A)]

或，$F (A, B, C) = A'B + B + C'(B + A)$

[ B.1 = B ]

或，$F (A, B, C) = B(A'+ 1) + C'(B + A)$

或，$F (A, B, C) = B.1 + C'(B + A)$

[ (A' + 1) = 1 ]

或，$F (A, B, C) = B + C'(B + A)$

[ 因为，B.1 = B ]

或，$F (A, B, C) = B + BC' + AC'$

或，$F (A, B, C) = B(1 + C') + AC'$

或，$F (A, B, C) = B.1 + AC'$

[因为，(1 + C') = 1]

或，$F (A, B, C) = B + AC'$

[因为，B.1 = B]

所以，$F (A, B, C) = B + AC'$是最小化形式。

问题 2

使用布尔恒等式最小化以下布尔表达式：

$$F (A, B, C) = (A + B) (A + C)$$

解答

已知，$F (A, B, C) = (A + B) (A + C)$

或，$F (A, B, C) = A.A + A.C + B.A + B.C$ [应用分配律]

或，$F (A, B, C) = A + A.C + B.A + B.C$ [应用幂等律]

或，$F (A, B, C) = A(1 + C) + B.A + B.C$ [应用分配律]

或，$F (A, B, C) = A + B.A + B.C$ [应用支配律]

或，$F (A, B, C) = (A + 1).A + B.C$ [应用分配律]

或，$F (A, B, C) = 1.A + B.C$ [应用支配律]

或，$F (A, B, C) = A + B.C$ [应用支配律]

所以，$F (A, B, C) = A + BC$ 是最小化形式。

卡诺图

卡诺图（K-map），由 Maurice Karnaugh 于 1953 年提出，是真值表的网格状表示，用于简化布尔代数表达式。卡诺图在不同位置具有 0 和 1 的条目。它将具有公共因子的布尔表达式组合在一起，并从表达式中消除不需要的变量。在 K-map 中，跨越垂直或水平单元格边界总是仅改变一个变量。