运算符与公理

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群论是数学和抽象代数的一个分支，它定义了一种名为群的代数结构。通常，一个群包含一组元素和一个在该集合上任意两个元素的操作，以形成该集合中的第三个元素。

1854年，英国数学家亚瑟·凯莱首次给出了群的现代定义：

“一组符号，它们彼此不同，并且任意两个符号的乘积（无论顺序如何），或任何一个符号自身的乘积，都属于该集合，则称该集合为一个群。这些符号通常不可交换[交换律]，但满足结合律。”

在本章中，我们将了解构成集合论、群论和布尔代数基础的运算符和公理。

数学系统中的任何一组元素都可以用一组运算符和一些公理来定义。

在元素集合上定义的二元运算符是一个规则，它为每一对元素分配该集合中的唯一元素。例如，给定集合$ A = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \rbrace $，如果它指定了一个用于根据$(a,b)$对查找c的规则，使得$a,b,c \in A$，那么我们可以说$\otimes$是运算$c = a \otimes b$的二元运算符。

数学系统的公理构成可以从中推导出规则的基本假设。公理包括：

封闭性

如果对于集合中每一对元素，运算符都能找到该集合中的唯一元素，则该集合关于二元运算符是封闭的。

示例

设$A = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$

该集合在二元运算乘法$(\ast)$下是封闭的，因为对于运算$c = a \ast b$，对于任何$a, b \in A$，乘积$c \in A$。

该集合在二元运算除法$(\div)$下不是封闭的，因为对于运算$c = a \div b$，对于任何$a, b \in A$，乘积c可能不在集合A中。如果$a = 7, b = 2$，则$c = 3.5$。这里$a,b \in A$但$c \notin A$。

结合律

集合A上的二元运算符$\otimes$在满足以下性质时是结合的：

$(x \otimes y) \otimes z = x \otimes (y \otimes z)$，其中$x, y, z \in A $

示例

设$A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$

加法运算符$( + )$是结合的，因为对于任何三个元素$x,y,z \in A$，性质$(x + y) + z = x + ( y + z )$成立。

减法运算符$( - )$不是结合的，因为

$$( x - y ) - z \ne x - ( y - z )$$

交换律

集合A上的二元运算符$\otimes$在满足以下性质时是交换的：

$x \otimes y = y \otimes x$，其中$x, y \in A$

示例

设$A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$

加法运算符$( + )$是交换的，因为对于任何两个元素$x,y \in A$，性质$x + y = y + x$成立。

减法运算符$( - )$不是结合的，因为

$$x - y \ne y - x$$

分配律

集合A上的两个二元运算符$\otimes$和$\circledast$在满足以下性质时，$\otimes$对$\circledast$具有分配律：

$x \otimes (y \circledast z) = (x \otimes y) \circledast (x \otimes z)$，其中$x, y, z \in A $

示例

设$A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace$

乘法运算符$( * )$和加法运算符$( + )$对加法运算符$+$具有分配律，因为对于任何三个元素$x,y,z \in A$，性质$x * ( y + z ) = ( x * y ) + ( x * z )$成立。

然而，这两个运算符对乘法运算符$*$不具有分配律，因为

$$x + ( y * z ) \ne ( x + y ) * ( x + z )$$

单位元

如果集合A关于A上的二元运算$\otimes$存在一个单位元，则存在一个元素$e \in A$，使得以下性质成立：

$e \otimes x = x \otimes e$，其中$x \in A$

示例

设$Z = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$

元素1是关于运算$*$的单位元，因为对于任何元素$x \in Z$，

$$1 * x = x * 1$$

另一方面，减法运算$( - )$没有单位元。

逆元

如果集合A关于二元运算符$\otimes$有一个单位元$e$，那么当对于每个元素$x \in A$，都存在另一个元素$y \in A$，使得以下性质成立时，它就具有逆元：

$$x \otimes y = e$$

示例

设$A = \lbrace \dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \rbrace$

给定加法运算$( + )$和$e = 0$，任何元素x的逆元是$(-x)$，因为$x + ( -x ) = 0$

德摩根定律

德摩根定律给出了用集合的补集表示两个（或多个）集合的并集和交集之间的一对变换。这些定律是：

$$(A \cup B)' = A' \cap B'$$

$$(A \cap B)' = A' \cup B'$$

示例

设$A = \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace ,B = \lbrace 1, 3, 5, 7 \rbrace$，以及

全集$U = \lbrace 1, 2, 3, \dots, 9, 10 \rbrace$

$A' = \lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$

$B' = \lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \rbrace$

$A \cup B = \lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \rbrace$

$A \cap B = \lbrace 1, 3 \rbrace $

$(A \cup B)' = \lbrace 6, 8, 9, 10 \rbrace$

$A' \cap B' = \lbrace 6, 8, 9, 10 \rbrace$

因此，我们看到$(A \cup B)' = A' \cap B'$

$(A \cap B)' = \lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$

$A' \cup B' = \lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \rbrace$

因此，我们看到$(A \cap B)' = A' \cup B'$