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法律研究直流发电机效率及最大效率条件（附例）
直流发电机效率
直流发电机的效率定义为输出电功率与输入机械功率之比。
$$\mathrm{效率,\:\eta\:=\frac{输出电功率(P_{o})}{ 输入机械功率(P_{i})}}$$
解释
考虑直流发电机的功率流程图（见图），此处功率分为三个阶段：
参考功率流程图，
$$\mathrm{铁损和摩擦损耗\:=\:𝐴\:−\:𝐵}$$
$$\mathrm{铜损\:=\:𝐵\:−\:𝐶}$$
因此，直流发电机的效率也可以根据三个阶段定义如下：
- 机械效率 −
$$\mathrm{\eta_{mech}\:=\frac{B}{A}=\:\frac{电枢产生的功率\:(E_{g}I_{a})}{输入机械功率\:(P_{i})}}$$
- 电气效率 −
$$\mathrm{\eta_{elect}\:=\frac{C}{B}=\:\frac{输出电功率\: (VI_{L})}{电枢产生的功率\:(E_{g}I_{a})}}$$
- 商业效率 −（除非另有说明，否则始终考虑此效率）
$$\mathrm{\eta\:=\frac{C}{A}=\:\frac{输出功率\:(P_{o})}{输入功率\:(P_{i})}}$$
最大效率条件
直流发电机的效率不是恒定的，而是随着负载的变化而变化。
假设对于并励发电机，
$$\mathrm{I_{L}\:=\:负载电流}$$
$$\mathrm{V\:=\:端电压}$$
然后，直流发电机的输出功率由下式给出：
$$\mathrm{输出功率,=P_{o}=VI_{L}}$$
$$\mathrm{总输入功率,\:P_{i} = P_{o} + 损耗}$$
$$\mathrm{⇒P_{i}=VI_{L}+I_a^2R_{a}+W_{c}}$$
$$\mathrm{⇒P_{i}=VI_{L}+(I_{L}+I_{sh})^{2}R_{a}+W_{c}}$$
其中，
- Ia2Ra=可变损耗 = 铜损
- Wc=恒定损耗 = 铁损 + 机械损耗
实际上，并励磁电流 (Ish) 与负载电流 (IL) 相比非常小，因此可以忽略不计。因此，
$$\mathrm{P_{i}=VI_{L}+I_L^2R_{a}+W_{c}}$$
因此，直流发电机的效率将为：
$$\mathrm{\eta=\frac{P_{o}}{P_{i}}=\frac{VI_{L}}{VI_{L}+I_L^2R_{a}+W_{c}}}$$
$$\mathrm{\eta=\frac{1}{1+(\frac{I_{L}R_{a}}{V})+(\frac{W_{c}}{VI_{L}})}}$$
当上述表达式的分母最小值时，效率最高。为了确定分母的最小值，对其关于变量（在本例中为 IL）进行微分，并将其等于零，即
$$\mathrm{\frac{d}{dI_{L}}[1+(\frac{I_{L}R_{a}}{V})+(\frac{W_{c}}{VI_{L}})]\:=\:0}$$
$$\mathrm{⇒\:0+\frac{R_{a}}{V}-\frac{W_{c}}{VI_L^2}\:=\:0}$$
$$\mathrm{⇒\:\frac{R_{a}}{V}=\frac{W_{c}}{VI_L^2}}$$
$$\mathrm{⇒\:I_L^2R_{a}=W_{c}}$$
$$\mathrm{⇒\: 可变损耗 = 恒定损耗}$$
因此，当负载电流使得可变损耗等于恒定损耗时，直流发电机的效率最高。
对应于最大效率的负载电流由下式给出：
$$\mathrm{I_{L}=\sqrt{\frac{W_{c}}{R_{a}}}}$$
数值示例
一台并励发电机以 240 V 的端电压向负载供电 95 A。电枢电阻和并励磁绕组电阻分别为 0.2 Ω 和 60 Ω。铁损和摩擦损耗为 2000 W。求直流发电机的效率。并确定最大效率时负载电流的值。
解答 −
直流发电机效率 −
$$\mathrm{并励磁电流,\:I_{sh}\:=\:\frac{V}{R_{sh}}\:=\:\frac{240}{60}\:=\:6A}$$
$$\mathrm{电枢电流,\:I_{a} = I_{L} + I_{sh} = 95 + 6 = 101 A}$$
$$\mathrm{电枢铜损\:=\:=\:I_a^2R_{a}\:=\:(101)^2 × 0.2 = 2040.2 W}$$
$$\mathrm{并励磁铜损\:= I_{sh}^{2}R_{sh}\:= \:(6)^2 × 60 = 2160 W}$$
$$\mathrm{\therefore \:总铜损\:=\:2040.2 + 2160 = 4200.2\: W}$$
给定总杂散损耗等于 2000 W。因此，
$$\mathrm{总损耗 \:= \:杂散损耗 \:+\: 铜损}$$
$$\mathrm{⇒\:\:总损耗\: = \:2000 + 4200.2\: = \:6200.2\: W}$$
$$\mathrm{输出功率,\:P_{o} \:=\: VI_{L}\: = \:240 × 95 \:= \:22800 W}$$
因此，输入功率将为
$$\mathrm{输入功率, \:P_{i} \:=\: P_{o} + 损耗 \:= \:22800 + 6200.2\: = \:29000.2 W}$$
$$\mathrm{\therefore\:效率,\:\eta\:=\:\frac{P_{o}}{P_{i}}\:=\:\frac{22800}{29000.2}\times100\%\:=\:78.62\%}$$
对应于最大效率的负载电流 −
$$\mathrm{恒定损耗,\:W_{c}\: =\: 并励磁铜损 \:+\: 杂散损耗}$$
$$\mathrm{⇒W_{c}=\:2160 + 2000 \:= \:4160 W}$$
$$\mathrm{I_{L}=\sqrt\frac{W_{c}}{R_{a}}\:=\:\sqrt\frac{4160}{0.2}\:=\: 144.22 A}$$
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