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法律对于所有实数 \( c \)，方程组
\( x-2 y=8 \)
\( 5 x-10 y=c \)
都只有一个解。判断此说法是真还是假，并说明理由。
已知
给定的方程组为：
\( x-2 y=8 \)
\( 5 x-10 y=c \)
求解
我们需要判断对于所有实数 \( c \)，给定的方程组是否都只有一个解。
解答
我们知道：
唯一解的条件是：
$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
\( x-2 y-8=0 \)
\( 5 x-10 y-c=0 \)
这里：
$a_1=1, b_1=-2, c_1=-8$
$a_2=5, b_2=-10, c_2=-c$
因此：
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{5}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-10}=\frac{1}{5}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-8}{-c}=\frac{8}{c}$
这里，对于任何 $c$ 的值，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$。
因此，对于任何 $c$ 的值，该线性方程组都不会有唯一解。
更新于： 2022年10月10日
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