若一个等差数列前 \( n \) 项的和记为 \( \mathrm{S}_{n} \)，证明对于任意等差数列，都有 \( \mathrm{S}_{12}=3\left(\mathrm{~S}_{8}-\mathrm{S}_{4}\right) \)。

已知： 

一个等差数列前 \( n \) 项的和记为 \( \mathrm{S}_{n} \)。

要求： 

我们必须证明对于任意等差数列，都有 \( \mathrm{S}_{12}=3\left(\mathrm{~S}_{8}-\mathrm{S}_{4}\right) \)。

解答

设首项为 $a$，公差为 $d$。

我们知道，

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

这意味着，

$\mathrm{S}_{12}=\frac{12}{2}[2 a+(12-1) d]$

$\mathrm{S}_{12}=6[2 a+11 d]$

$\mathrm{S}_{12}=12 a+66 d$.........(i)

$\mathrm{S}_{8}=\frac{8}{2}[2 a+(8-1) d]$

$\mathrm{S}_{8}=4[2 a+7 d]$

$\mathrm{S}_{8}=8 a+28 d$............(ii)

$S_{4}=\frac{4}{2}[2 a+(4-1) d]$

$\mathrm{S}_{4}=2[2 a+3 d]$

$S_{4}=4 a+6 d$.........(iii)

因此，

$3(\mathrm{~S}_{8}-\mathrm{S}_{4})=3(8 a+28 d-4 a-6 d)$

$=3(4 a+22 d)$

$=12 a+66 d$

因此， $3(S_{8}-S_{4})=S_{12}$。

更新于： 2022年10月10日

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