将下列小数表示成 \( \frac{p}{q} \) 的形式，其中 \( p \) 和 \( q \) 是整数，且 \( q ≠ 0 \)。
(i) \( 0 . \overline{6} \)
(ii) \( 0.4 \overline{7} \)
(iii) \( 0 . \overline{001} \)

题目

我们需要将给定的十进制小数表示成 $\frac{p}{q}$ 的形式。

解答

(a) $0. \overline{6}$

设 $x = 0.6666....$

两边乘以 10。

$10x = 10(0.6666....)$

$10x = 6.6666.....$

因此，

$10x-x = 6.6666.... - 0.6666.....$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9}$

因此，

$0. \overline{6}$ 的 $\frac{p}{q}$ 形式是 $\frac{6}{9}$。

(b) $0. 4\overline{7}$

设 $x = 0.47777....$

两边乘以 10。

$10x = 10(0.47777....)$

$10x = 4.7777.....$

两边乘以 100。

$100x = 100(0.47777....)$

$100x = 47.7777.....$

因此，

$100x-10x = 47.7777.... - 4.7777.....$

$90x = 43$

$x = \frac{43}{90}$

因此，

$0. 4\overline{7}$ 的 $\frac{p}{q}$ 形式是 $\frac{43}{90}$。 

(c) $0. \overline{001}$

设 $x = 0.001001001....$

两边乘以 10。

$10x = 10(0.001001001....)$

$10x = 0.01001001.....$

两边乘以 100。

$100x = 100(0.001001001....)$

$100x = 0.1001001.....$

两边乘以 1000。

$1000x = 100(0.001001001....)$

$1000x = 1.001001001.....$

因此，

$1000x-x = 1.001001001.... - 0.001001001.....$

$999x = 1$

$x = \frac{1}{999}$

因此，

$0.\overline{001}$ 的 $\frac{p}{q}$ 形式是 $\frac{1}{999}$。 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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