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法学研究将下列每个表达式因式分解：\( \frac{1}{27} x^{3}-y^{3}+125 z^{3}+5 x y z \)
已知
\( \frac{1}{27} x^{3}-y^{3}+125 z^{3}+5 x y z \)
要求
我们需要对给定的表达式进行因式分解。
解答
我们知道：
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
因此：
$\frac{1}{27} x^{3}-y^{3}+125 z^{3}+5 x y z = (\frac{1}{3} x)^{3}+(-y)^{3}+(5 z)^{3}-3 \times \frac{x}{3} \times(-y) \times 5 z$
$=(\frac{1}{3} x-y+5 z)[(\frac{1}{3} x)^{2}+(-y)^{2}+(5 z)^{2}-\frac{1}{3} x \times(-y)-(-y) \times (5 z)-5 z \times \frac{1}{3} x]$
$=(\frac{1}{3} x-y+5 z)(\frac{1}{9} x^{2}+y^{2}+25 z^{2}+\frac{1}{3} x y+5 y z-\frac{5}{3} z x)$
因此，$\frac{1}{27} x^{3}-y^{3}+125 z^{3}+5 x y z = (\frac{1}{3} x-y+5 z)(\frac{1}{9} x^{2}+y^{2}+25 z^{2}+\frac{1}{3} x y+5 y z-\frac{5}{3} z x)$。
更新于：2022年10月10日
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