分别求出以给定数字作为其零点之和与积的二次多项式。
(i) $\frac{1}{4},-1$。
(ii) $\sqrt{2},\ \frac{1}{3}$。
(iii) $0,\ \sqrt{5}$。
(iv) $1,\ 1$.
(v) $-\frac{1}{4},\ \frac{1}{4}$。
(vi) $4,\ 1$.

已知：

已知二次多项式的零点之和与积。

要求：

我们必须分别找到以给定数字作为零点之和与积的二次多项式。

解答

(i) 设$\alpha$和$\beta$是多项式的零点。

已知：

零点之和$=\alpha+\beta=\frac{1}{4}$

零点之积$=\alpha.\beta=-1$

二次多项式为

$x^{2}-( \alpha +\beta )+\alpha \beta =0$

$\Rightarrow x^2-( \frac{1}{4})x+( -1)=0$

$\Rightarrow 4x^2-x-4=0$

因此，所需的多项式为 $4x^2-x-4=0$。 

(ii) 设$\alpha$和$\beta$是多项式的零点。

已知：

零点之和$=\alpha +\beta=\sqrt{2}$

二次多项式的积$=\alpha.\beta =\frac{1}{3}$

二次多项式为

$x^{2}-( \alpha +\beta )+\alpha \beta =0$

$\Rightarrow x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{3}=0$

$\Rightarrow 3x^{2}-3\sqrt{2}x+1=0$

因此，所需二次多项式为 $3x^{2}-3\sqrt{2}x+1$。

(iii) 设$\alpha$和$\beta$是二次多项式的零点。

二次多项式零点之和$=\alpha+\beta=0$

二次多项式零点之积$=\alpha.\beta=\sqrt{5}$

二次多项式为

$x^{2}-(\alpha +\beta )+\alpha\beta=0$

$\Rightarrow x^{2}-0x+\sqrt{5}=0$

$\Rightarrow x^{2}+\sqrt{5}=0$

所需二次多项式为 $x^2+\sqrt{5}$。

(iv) 设$\alpha$和$\beta$是多项式的零点。

已知：

零点之和$=\alpha +\beta=1$

零点之积$=\alpha.\beta=1$

$\Rightarrow x^{2}-(\alpha +\beta )+\alpha \beta =0$

$\Rightarrow x^{2}-1.x+1=0$

$\Rightarrow x^{2}-x+1=0$

因此，所需二次多项式为 $x^2-x+1$。

(v) 设$\alpha$和$\beta$是二次多项式的零点。

已知，零点之和$=\alpha +\beta=-\frac{1}{4}$

零点之积$=\alpha \beta =\frac{1}{4}$

$x^{2}-( \alpha+\beta)+\alpha\beta =0$

$x^{2}-( -\frac{1}{4})x+\frac{1}{4}=0$

$4x^{2}+x+1=0$

因此，所需二次多项式为 $4x^2+x+1$

(vi) 设$\alpha$和$\beta$是二次多项式的零点。

已知，零点之和$=\alpha+\beta=4$

零点之积$=\alpha\beta=1$

二次多项式为

$x^{2}-( \alpha +\beta )+\alpha \beta=0$

$x^{2}-4x+1=0$

所需二次多项式为 $x^2-4x+1$。

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更新于：2022年10月10日

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