当点 $(3, a)$ 和 $(4, 1)$ 之间的距离为 $\sqrt{10}$ 时，求 $a$ 的值。

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已知

点 $(3, a)$ 和 $(4, 1)$ 之间的距离为 $\sqrt{10}$。

要求

我们必须找到 $a$ 的值。

解答

我们知道，

两点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之间的距离为 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。

因此，

点 $(3, a)$ 和 $(4, 1)$ 之间的距离为：

$\sqrt{10}=\sqrt{(4-3)^2+(1-a)^2}$

两边平方，得到：

$(\sqrt{10})^2=(\sqrt{(1)^2+(1-a)^2})^2$

$10=1+1+a^2-2a$

$a^2-2a+2-10=0$

$a^2-2a-8=0$

$a^2-4a+2a-8=0$

$a(a-4)+2(a-4)=0$

$(a-4)(a+2)=0$

$a-4=0$ 或 $a+2=0$

$a=4$ 或 $a=-2$

$a$ 的值为 $4$ 或 $-2$。