如果点 $(a, b)$ 是连接点 $A (10, -6)$ 和 $B (k, 4)$ 的线段的中点，且 $a – 2b = 18$，求 $k$ 的值和线段 AB 的长度。

已知： 

$(a, b)$ 是连接点 $A (10, -6)$ 和 $B (k, 4)$ 的线段的中点，且 $a – 2b = 18$。

要求： 

求 $k$ 的值和线段 AB 的长度。

解答

我们知道，

连接点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 的线段的中点是 $(\frac{x_1+y_1}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ 

因此，

\( (a, b)=\left(\frac{10+k}{2}, \frac{-6+4}{2}\right) \)

\( \Rightarrow(a, b)=\left(\frac{10+k}{2},-1\right) \)

将两边坐标对应相等，得到：

\( a=\frac{10+k}{2} \) 且 \( b=-1 \)

已知，

\( a-2 b=18 \)

这意味着，

\( a-2(-1)=18 \)

\( a+2=18 \)

\( a=18-2=16 \)

\( 16=\frac{10+k}{2} \)

\( 16(2)=10+k \)

\( k=32-10=22 \)

点 \( (x_{1}, y_{1}) \) 和 \( (x_{2}, y_{2}) \) 之间的距离为 \( \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}} \)

点 \( \mathrm{A}(10,-6) \) 和 \( \mathrm{B}(22,4) \) 之间的距离

\( \mathrm{AB}=\sqrt{(22-10)^{2}+(4+6)^{2}} \)

\( = \sqrt{(12)^{2}+(10)^{2}} \)

\( =\sqrt{144+100} \)

\( = \sqrt{244} \)

\( =2 \sqrt{61} \)

因此，$k$ 的值为 $22$，线段 \( \mathrm{AB} \) 的长度为 \( 2 \sqrt{61} \)。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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