已知$\sqrt2= 1.4142, \sqrt3= 1.732, \sqrt5 = 2.2360, \sqrt6= 2.4495$ 和 $\sqrt{10}= 3.162$，求下列各式的值，精确到小数点后三位：$\frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}}$

已知

$\sqrt2= 1.4142, \sqrt3= 1.732, \sqrt5 = 2.2360, \sqrt6=  2.4495$ 和 $\sqrt{10}= 3.162$。

要求：

求$\frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}}$的值，精确到小数点后三位。

解

我们知道：

分母为${\sqrt{a}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}}$。

分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此，

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}}=\frac{(3-\sqrt{5})(3-2 \sqrt{5})}{(3+2 \sqrt{5})(3-2 \sqrt{5})}$

$=\frac{9-6 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+2 \times 5}{(3)^{2}-(2 \sqrt{5})^{2}}$

$=\frac{9+10-9 \sqrt{5}}{9-20}$

$=\frac{19-9 \sqrt{5}}{-11}$

$=\frac{19-9 \times 2.2360}{-11}$

$=\frac{19-20.124}{-11}$

$=\frac{-1.124}{-11}$

$=0.102$

$\frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}}$的值为 $0.102$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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