求解下列线性方程组有无限多个解时p和q的值
$2x+3y=9$
$(p+q)x+(2p-q)y=3(p+q+1)$

已知：

给定的方程组为

$2x+3y=9$
$(p+q)x+(2p-q)y=3(p+q+1)$

解题步骤：

我们要求解当下列线性方程组有无限多个解时，$p$ 和 $q$ 的值。

解答

给定的方程组可以写成

$2x+3y-9=0$
$(p+q)x+(2p-q)y-3(p+q+1)=0$

二元方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$。

将给定的方程组与标准形式的方程进行比较，我们得到：

$a_1=2, b_1=3, c_1=-9$ 以及 $a_2=(p+q), b_2=(2p-q), c_2=-3(p+q+1)$

当给定的方程组有无限多个解时，条件为

$\frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}}$

$\frac{2}{p+q}=\frac{3}{(2p-q)}=\frac{-9}{-3(p+q+1)}$

$\frac{2}{p+q}=\frac{3}{(2p-q)}=\frac{3}{(p+q+1)}$

$\frac{2}{p+q}=\frac{3}{2p-q}$ 以及 $\frac{2}{p+q}=\frac{3}{p+q+1}$

$(2p-q)\times2=3\times(p+q)$ 以及 $(p+q+1)\times2=3\times(p+q)$

$4p-2q=3p+3q$ 以及 $2p+2q+2=3p+3q$

$4p-3p=2q+3q$ 以及 $3p-2p+3q-2q=2$

$p=5q$ 以及 $p+q=2$

将 $p=5q$ 代入 $p+q=2$，我们得到：

$5q+q=2$

$6q=2$

$q=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

这意味着：

$p=5q=5\times\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

当给定的方程组有无限多个解时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $\frac{5}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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