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法学如果3a - 2b + 5c = 5，且6ab + 10bc - 15ac = 14，则求27a³ + 125b³ + 90abc - 8b³的值。
已知
已知表达式为3a - 2b + 5c = 5 和 6ab + 10bc - 15ac = 14
求解
我们需要求解27a³ + 125b³ + 90abc - 8b³的值
解答
我们知道：
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
3a - 2b + 5c = 5
两边平方，我们得到：
(3a - 2b + 5c)² = 5²
(3a)² + (-2b)² + (5c)² + 2(3a)(-2b) + 2(-2b)(5c) + 2(5c)(3a) = 25
9a² + 4b² + 25c² - 12ab - 20bc + 30ac = 25
9a² + 4b² + 25c² - 2(6ab + 10bc - 15ac) = 25
9a² + 4b² + 25c² - 2(14) = 25
9a² + 4b² + 25c² = 25 + 28
9a² + 4b² + 25c² = 53 ------(1)
我们知道：
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
已知：
27a³ + 125c³ + 90abc - 8b³
它可以写成：
27a³ + 125c³ + 90abc - 8b³ = (3a)³ + (-2b)³ + (5c)³ - 3(3a)(-2b)(5c)
因此：
27a³ + 125c³ + 90abc - 8b³ = (3a)³ + (-2b)³ + (5c)³ - 3(3a)(-2b)(5c)
= (3a - 2b + 5c)((3a)² + (-2b)² + (5c)² - (3a)(-2b) - (-2b)(5c) - (5c)(3a))
= (5)(9a² + 4b² + 25c² + 6ab + 10bc - 15ac)
= (5)(53 + 14) (由公式(1))
= 5(67)
= 335.
27a³ + 125b³ + 90abc - 8b³ 的值为 335
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