如果$\theta=30^{\circ}$，验证以下等式：$\cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta$

已知

$\theta=30^{\circ}$

要求

我们需要验证$\cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta$。

解：  

$\cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta$

这意味着，

$\cos 3(30^{\circ})=4 \cos ^{3} 30^{\circ}-3 \cos 30^{\circ}$

$\cos 90^{\circ}=4 \cos ^{3} 30^{\circ}-3 \cos 30^{\circ}$

我们知道，

$\cos 90^{\circ}=0$

$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$

让我们考虑左侧（LHS），

$\cos 3 \theta=\cos 90^{\circ}$

$=0$

让我们考虑右侧（RHS），

$4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta=4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3} -3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$=4\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{3\sqrt{3}}{2} -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$=0$

LHS = RHS

因此得证。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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