证明点$(1,-2),(2,3),(-3,2)$和$(-4,-3)$是菱形的顶点。

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已知

已知点为$(1,-2),(2,3),(-3,2)$和$(-4,-3)$。

要求

我们必须证明$(1,-2),(2,3),(-3,2)$和$(-4,-3)$是菱形的顶点。

解答

设$\mathrm{ABCD}$是一个四边形，其顶点为$\mathrm{A}(1,-2), \mathrm{B}(2,3), \mathrm{C}(-3,2)$和$\mathrm{D}(-4,-3)$。

我们知道，

两点$\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right)$和$\mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$之间的距离为$\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$。

因此，

 $AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(3+2)^{2}}$

$=\sqrt{(1)^{2}+(5)^{2}}$

$=\sqrt{1+25}$

$=\sqrt{26}$

类似地，

$BC=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-3)^{2}}$

$=\sqrt{(-5)^{2}+(-1)^{2}}$

$=\sqrt{25+1}$

$=\sqrt{26}$

$CD=\sqrt{(-4+3)^{2}+(-3-2)^{2}}$

$=\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}}$

$=\sqrt{1+25}$

$=\sqrt{26}$

$DA=\sqrt{(-4-1)^{2}+(-3+2)^{2}}$

$=\sqrt{(-5)^{2}+(-1)^{2}}$

$=\sqrt{25+1}$

$=\sqrt{26}$

对角线$\mathrm{AC}=\sqrt{(-3-1)^{2}+(2+2)^{2}}$

$=\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}}$

$=\sqrt{16+16}$

$=\sqrt{32}$

$=\sqrt{16 \times 2}$

$=4 \sqrt{2}$

对角线$\mathrm{BD}=\sqrt{(-4-2)^{2}+(-3-3)^{2}}$

$=\sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}}$

$=\sqrt{36+36}$

$=\sqrt{72}$

$=\sqrt{36 \times 2}$

$=6 \sqrt{2}$

这里，

$AB=BC=CD=DA=\sqrt{26}$

边相等，但对角线不相等。

因此，给定点是菱形的顶点。