证明点\( (1,-2),(2,3),(-3,2) \)和\( (-4,-3) \)是菱形的顶点。

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已知

已知点为\( (1,-2),(2,3),(-3,2) \)和\( (-4,-3) \)。

要求

我们必须证明\( (1,-2),(2,3),(-3,2) \)和\( (-4,-3) \)是菱形的顶点。

解答

设\( \mathrm{ABCD} \)是一个四边形，其顶点为\( \mathrm{A}(1,-2), \mathrm{B}(2,3), \mathrm{C}(-3,2) \)和\( \mathrm{D}(-4,-3) \)。

我们知道，

两点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。

因此，

 \( AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(3+2)^{2}} \)

\( =\sqrt{(1)^{2}+(5)^{2}} \)

\( =\sqrt{1+25} \)

\( =\sqrt{26} \)

类似地，

\( BC=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-3)^{2}} \)

\( =\sqrt{(-5)^{2}+(-1)^{2}} \)

\( =\sqrt{25+1} \)

\( =\sqrt{26} \)

\( CD=\sqrt{(-4+3)^{2}+(-3-2)^{2}} \)

\( =\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}} \)

\( =\sqrt{1+25} \)

\( =\sqrt{26} \)

\( DA=\sqrt{(-4-1)^{2}+(-3+2)^{2}} \)

\( =\sqrt{(-5)^{2}+(-1)^{2}} \)

\( =\sqrt{25+1} \)

\( =\sqrt{26} \)

对角线\( \mathrm{AC}=\sqrt{(-3-1)^{2}+(2+2)^{2}} \)

\( =\sqrt{(-4)^{2}+(4)^{2}} \)

\( =\sqrt{16+16} \)

\( =\sqrt{32} \)

\( =\sqrt{16 \times 2} \)

\( =4 \sqrt{2} \)

对角线\( \mathrm{BD}=\sqrt{(-4-2)^{2}+(-3-3)^{2}} \)

\( =\sqrt{(-6)^{2}+(-6)^{2}} \)

\( =\sqrt{36+36} \)

\( =\sqrt{72} \)

\( =\sqrt{36 \times 2} \)

\( =6 \sqrt{2} \)

这里，

$AB=BC=CD=DA=\sqrt{26}$

边相等，但对角线不相等。

因此，给定点是菱形的顶点。