证明点$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$是菱形的顶点。求此菱形的面积。

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已知

给定的点为$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$。

要求

我们需要证明点$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$是菱形的顶点，并求此菱形的面积。

解答

设四边形为\( \mathrm{ABCD} \)，其顶点分别为\( \mathrm{A}(-3,2), \mathrm{B}(-5,-5), \mathrm{C}(2,-3) \)和\( \mathrm{D}(4,4) \)。

我们知道，

两点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。

因此，

 \( AB=\sqrt{(-5+3)^{2}+(-5-2)^{2}} \)

\( =\sqrt{(-2)^{2}+(-7)^{2}} \)
\( \Rightarrow AB^{2}=(-2)^{2}+(-7)^{2} \)

\( =4+49 \)

\( =53 \)
类似地，

\( BC^{2}=(2+5)^{2}+(-3+5)^{2} \)
\( =(7)^{2}+(2)^{2} \)

\( =49+4 \)

\( =53 \)
\( CD^{2}=(4-2)^{2}+(4+3)^{2} \)
\( =(2)^{2}+(7)^{2} \)

\( =4+49 \)

\( =53 \)
\( DA^{2}=(-3-4)^{2}+(2-4)^{2} \)
\( =(-7)^{2}+(-2)^{2} \)

\( =49+4 \)

\( =53 \)

对角线\( \mathrm{AC}=\sqrt{(2+3)^{2}+(-3-2)^{2}} \)
\( =\sqrt{(5)^{2}+(-5)^{2}} \)

\( =\sqrt{25+25} \)
\( =\sqrt{50} \)

\( =\sqrt{25 \times 2} \)

\( =5 \sqrt{2} \)
对角线\( \mathrm{BD}=\sqrt{(4+5)^{2}+(4+5)^{2}} \)
\( =\sqrt{(9)^{2}+(9)^{2}} \)

\( =\sqrt{81+81} \)

\( =\sqrt{162} \)
\( =\sqrt{81 \times 2} \)

\( =9 \sqrt{2} \)

这里，

$AB=BC=CD=DA=\sqrt{53}$

边长相等，但对角线不相等。
\( \therefore \mathrm{ABCD} \)是菱形。

我们知道，

菱形的面积\( =\frac{\text { 对角线乘积 }}{2} \)

\( =\frac{5 \sqrt{2} \times 9 \sqrt{2}}{2} \)
\( =\frac{90}{2} \)

\( =45 \)平方单位

菱形的面积为$45$平方单位。