证明点$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$是菱形的顶点。求此菱形的面积。

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已知

给定的点为$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$。

要求

我们需要证明点$(-3, 2), (-5, -5), (2, -3)$和$(4, 4)$是菱形的顶点，并求此菱形的面积。

解答

设四边形为$\mathrm{ABCD}$，其顶点分别为$\mathrm{A}(-3,2), \mathrm{B}(-5,-5), \mathrm{C}(2,-3)$和$\mathrm{D}(4,4)$。

我们知道，

两点$\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right)$和$\mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$之间的距离为$\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$。

因此，

 $AB=\sqrt{(-5+3)^{2}+(-5-2)^{2}}$

$=\sqrt{(-2)^{2}+(-7)^{2}}$
$\Rightarrow AB^{2}=(-2)^{2}+(-7)^{2}$

$=4+49$

$=53$
类似地，

$BC^{2}=(2+5)^{2}+(-3+5)^{2}$
$=(7)^{2}+(2)^{2}$

$=49+4$

$=53$
$CD^{2}=(4-2)^{2}+(4+3)^{2}$
$=(2)^{2}+(7)^{2}$

$=4+49$

$=53$
$DA^{2}=(-3-4)^{2}+(2-4)^{2}$
$=(-7)^{2}+(-2)^{2}$

$=49+4$

$=53$

对角线$\mathrm{AC}=\sqrt{(2+3)^{2}+(-3-2)^{2}}$
$=\sqrt{(5)^{2}+(-5)^{2}}$

$=\sqrt{25+25}$
$=\sqrt{50}$

$=\sqrt{25 \times 2}$

$=5 \sqrt{2}$
对角线$\mathrm{BD}=\sqrt{(4+5)^{2}+(4+5)^{2}}$
$=\sqrt{(9)^{2}+(9)^{2}}$

$=\sqrt{81+81}$

$=\sqrt{162}$
$=\sqrt{81 \times 2}$

$=9 \sqrt{2}$

这里，

$AB=BC=CD=DA=\sqrt{53}$

边长相等，但对角线不相等。
$\therefore \mathrm{ABCD}$是菱形。

我们知道，

菱形的面积$=\frac{\text { 对角线乘积 }}{2}$

$=\frac{5 \sqrt{2} \times 9 \sqrt{2}}{2}$
$=\frac{90}{2}$

$=45$平方单位

菱形的面积为$45$平方单位。