球体的直径减少了\( 25 \% \)。它的曲面面积减少了百分之几？

已知

球体的直径减少了\( 25 \% \)。

要求

我们必须找到曲面面积减少的百分比。

解答

设 $d$ 为球体的初始直径。

这意味着：

球体的初始半径 $r=\frac{d}{2}$

球体的初始表面积 $=4 \pi(\frac{d}{2})^{2}$

$=4\times \pi \times \frac{d^{2}}{4}$

$=\pi d^2$

直径减少 $25\%$ 后，新的直径为 $d_{1}=d-\frac{25 d}{100}$

$=\frac{75}{100} \times d$

$=\frac{3 d}{4}$

新球体的表面积 $=4 \pi(\frac{d_{1}}{2})^{2}$

$=4 \pi(\frac{1}{2} \times \frac{3 d}{4})^{2}$

$=4 \pi \frac{9 d^{2}}{64}$

$=\frac{\pi d^{2} 9}{16}$

球体表面积的减少量 $=\pi d^{2}(1-\frac{9}{16})$

$=\pi d^{2}(\frac{7}{16})$

因此：

曲面面积减少的百分比 $=\frac{\pi d^{2}(\frac{7}{16})}{\pi d^{2}} \times 100 \%$

$=\frac{700}{16} \%$

$=43.75 \%$

曲面面积减少了 $43.75 \%$。

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更新于：2022年10月10日

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