一个三角形的边长分别为 35 厘米、54 厘米和 61 厘米。其最长高线有多长？

已知

三角形的边长分别为 35 厘米、54 厘米和 61 厘米。

求解

我们需要求出最长高线的长度。

解答

设 a = 35 厘米，b = 54 厘米，c = 61 厘米，h 为三角形的最长高线。

我们知道：

边长分别为 a、b 和 c 的三角形的半周长 = $\frac{a+b+c}{2}$

三角形的面积 = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

已知三角形的半周长 = $\frac{35+54+61}{2}$ 厘米 = $\frac{150}{2}$ 厘米 = 75 厘米。

已知三角形的面积 = $\sqrt{75(75-35)(75-54)(75-61)}$ 平方厘米

                                              = $\sqrt{75\times 40\times 21\times 14}$ 平方厘米

                                              = $\sqrt{75\times 40\times 21\times 14}$ 平方厘米

                                              = $\sqrt{5\times 3\times 5\times 5\times 8\times 7\times 3\times 7\times 2}$ 平方厘米

                                              = $\sqrt{5\times 3\times 3\times 5\times 5\times 7\times 7\times 16}$ 平方厘米

                                              = $3\times 4\times 5\times 7\sqrt{5}$ 平方厘米

                                              = $420\sqrt{5}$ 平方厘米。

我们也知道：

三角形的面积 = $\frac{1}{2}\times b\times h$

最长高线在最短边上。

因此：

$\frac{1}{2}\times b\times h$ = $420\sqrt{5}$ 平方厘米

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \times 35\times h=420\sqrt{5} \text{ 平方厘米} \\ h=\frac{420\sqrt{5} \times 2}{35} \\ h=12\sqrt{5} \times 2 \\ h=24\sqrt{5} \text{ 厘米} \end{array}$

三角形的最长高线长度为 $24\sqrt{5}$ 厘米。

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更新于：2022年10月10日

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