两根管道同时运行可以填充一个水箱，耗时 $1\frac{7}{8}$ 小时。直径较大的水龙头单独填充水箱所需时间比直径较小的水龙头少 2 小时。求每个水龙头单独填充水箱所需的时间。

已知

两根管道同时运行可以填充一个水箱，耗时 $1\frac{7}{8}$ 小时。

直径较大的水龙头单独填充水箱所需时间比直径较小的水龙头少 2 小时。

要求

我们必须找到每个水龙头单独填充水箱所需的时间。

解答

两根水龙头同时运行填充水箱所需时间 $=1\frac{7}{8}=\frac{1\times8+7}{8}=\frac{15}{8}$ 小时。

设直径较大的水龙头填充水箱所需时间为 $x$ 小时。

这意味着：

直径较小的水龙头填充水箱所需时间为 $x+2$ 小时。

直径较大的水龙头一小时内填充的水箱比例为 $\frac{1}{x}$。

直径较小的水龙头一小时内填充的水箱比例为 $\frac{1}{x+2}$。

两个水龙头一小时内填充的水箱比例为 $\frac{1}{\frac{15}{8}}=\frac{8}{15}$

因此：

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{8}{15}$

$\frac{1(x+2)+1(x)}{(x+2)x}=\frac{8}{15}$

$\frac{x+2+x}{x^2+2x}=\frac{8}{15}$

$\frac{2x+2}{x^2+2x}=\frac{8}{15}$

$15(2)(x+1)=8(x^2+2x)$

$15x+15=4x^2+8x$

$4x^2+8x-15x-15=0$

$4x^2-7x-15=0$

用因式分解法解 $x$，得到：

$4x^2-12x+5x-15=0$

$4x(x-3)+5(x-3)=0$

$(x-3)(4x+5)=0$

$x-3=0$ 或 $4x+5=0$

$x=3$ 或 $4x=-5$

因此，$x=3$。($x$ 不能为负数)

$x+2=3+2=5$

直径较大的水龙头填充水箱所需时间为 3 小时，直径较小的水龙头填充水箱所需时间为 5 小时。

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更新于：2022年10月10日

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