两个水龙头一起可以将一个水箱注满，需要 $9\frac{3}{8}$ 小时。直径较大的水龙头单独注满水箱所需时间比直径较小的水龙头少 10 小时。求每个水龙头单独注满水箱所需的时间。

已知

两个水龙头一起可以将一个水箱注满，需要 $9\frac{3}{8}$ 小时。直径较大的水龙头单独注满水箱所需时间比直径较小的水龙头少 10 小时。

要求

我们必须求出每个水龙头单独注满水箱所需的时间。

解答

两个水龙头一起注满水箱所需时间 $=9\frac{3}{8}=\frac{9\times8+3}{8}=\frac{72+3}{8}=\frac{75}{8}$ 小时。

设直径较大的水龙头注满水箱所需时间为 $x$ 小时。

这意味着，

直径较小的水龙头注满水箱所需时间 $=x+10$ 小时。

直径较大的水龙头每小时注满水箱的比例为 $\frac{1}{x}$。

直径较小的水龙头每小时注满水箱的比例为 $\frac{1}{x+10}$。

两个水龙头每小时注满水箱的比例为 $\frac{1}{\frac{75}{8}}=\frac{8}{75}$。

因此，

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}=\frac{8}{75}$

$\frac{1(x+10)+1(x)}{(x+10)x}=\frac{8}{75}$

$\frac{x+10+x}{x^2+10x}=\frac{8}{75}$

$\frac{2x+10}{x^2+10x}=\frac{8}{75}$

$75(2x+10)=8(x^2+10x)$

$150x+750=8x^2+80x$

$8x^2+80x-150x-750=0$

$8x^2-70x-750=0$

$2(4x^2-35x-375)=0$

$4x^2-35x-375=0$

用因式分解法求解 $x$，得到：

$4x^2-60x+25x-375=0$

$4x(x-15)+25(x-15)=0$

$(x-15)(4x+25)=0$

$x-15=0$ 或 $4x+25=0$

$x=15$ 或 $4x=-25$

因此，$x$ 的值为 15。（$x$ 不能为负数）

$x+10=15+10=25$

直径较大的水龙头注满水箱所需时间为 15 小时，直径较小的水龙头注满水箱所需时间为 25 小时。  

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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