两根水管一起注水可以将一个水箱在 $11\frac{1}{9}$ 分钟内注满。如果一根水管单独注满水箱的时间比另一根水管多 5 分钟，求每根水管单独注满水箱所需的时间。

已知

两根水管一起注水可以将一个水箱在 $11\frac{1}{9}$ 分钟内注满。

一根水管单独注满水箱的时间比另一根水管多 5 分钟。

要求

我们需要求出每根水管单独注满水箱所需的时间。

解答

两根水管注满水箱所需时间$=11\frac{1}{9}=\frac{11\times9+1}{9}=\frac{99+1}{9}=\frac{100}{9}$ 分钟。

设较快水管注满水箱所需时间为 $x$ 分钟。

这意味着，

较慢水管注满水箱所需时间$=x+5$ 分钟。

较快水管每分钟注满水箱的比例为 $\frac{1}{x}$。

较慢水管每分钟注满水箱的比例为 $\frac{1}{x+5}$。

两根水管每分钟注满水箱的比例为 $\frac{1}{\frac{100}{9}}=\frac{9}{100}$。

因此，

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{9}{100}$

$\frac{1(x+5)+1(x)}{(x+5)x}=\frac{9}{100}$

$\frac{x+5+x}{x^2+5x}=\frac{9}{100}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x}=\frac{9}{100}$

$100(2x+5)=9(x^2+5x)$

$200x+500=9x^2+45x$

$9x^2+45x-200x-500=0$

$9x^2-155x-500=0$

使用因式分解法求解 $x$，得到：

$9x^2-180x+25x-500=0$

$9x(x-20)+25(x-20)=0$

$(x-20)(9x+25)=0$

$x-20=0$ 或 $9x+25=0$

$x=20$ 或 $9x=-25$

因此，$x$ 的值为 20。（$x$ 不能为负数）

$x+5=20+5=25$

较快水管注满水箱所需时间为 20 分钟，较慢水管注满水箱所需时间为 25 分钟。 

教程点

更新于: 2022 年 10 月 10 日

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