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法学两个相似圆锥的体积分别为$12\pi$立方单位和$96\pi$立方单位。如果较小圆锥的曲面面积为$15\pi$平方单位，那么较大圆锥的曲面面积是多少？
已知：两个相似圆锥的体积分别为$12\pi$立方单位和$96\pi$立方单位。较小圆锥的曲面面积为$15\pi$平方单位。
求解：求较大圆锥的曲面面积。
解
圆锥体积$=( \frac{1}{3})\pi r^2h$
两个相似圆锥$\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=\frac{h_2}{h_1}=k$
一个圆锥的体积$=( \frac{1}{3})\pi r_2^2 h_2=96$
另一个圆锥的体积$=( \frac{1}{3})\pi r_1^2 h_1=12$
$\Rightarrow \frac{( \frac{1}{3})\pi r_2^2 h_2}{( \frac{1}{3})\pi r_1^2 h_1}=\frac{96}{12}$
$\Rightarrow (\frac{r_2}{r_1})^2\times( \frac{h_2}{h_1})=8$
$\Rightarrow k^3=2^3$
$\Rightarrow k^3=8$
$\Rightarrow k=2$
$\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=2\Rightarrow r_2=2r_1$
较小圆锥的曲面面积$=\pi r_1( \sqrt{r_1^2 + h_1^2})=15\pi$
较大圆锥的曲面面积$=\pi r_2( \sqrt{r_2^2 + h_2^2})$
$=\pi ( 2r_1)( \sqrt{(2r_1)^2 +(2h_1)^2})$
$=2\pi r_1\times2(\sqrt{r_1^2 + h_1^2})$
$=4\pi r_1(\sqrt{r_1^2 + h_1^2})$
$=4\times15\pi$
$=60\pi$ 平方单位
因此，较大圆锥的曲面面积为$60\pi$平方单位。
更新于：2022年10月10日
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