两个相似圆锥的体积分别为 $12\pi$ 立方单位和 $96\pi$ 立方单位。如果较小圆锥的曲面面积为 $15\pi$ 平方单位，那么较大圆锥的曲面面积是多少？

学术数学 NCERT 9年级

已知：两个相似圆锥的体积分别为

$12\pi$ 立方单位和

$96\pi$ 立方单位。较小圆锥的曲面面积为

$15\pi$ 平方单位。

求解：求较大圆锥的曲面面积。

解

圆锥体积

$=( \frac{1}{3})\pi r^2h$

两个相似圆锥

$\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=\frac{h_2}{h_1}=k$

一个圆锥的体积

$=( \frac{1}{3})\pi r_2^2 h_2=96$

另一个圆锥的体积

$=( \frac{1}{3})\pi r_1^2 h_1=12$

$\Rightarrow \frac{( \frac{1}{3})\pi r_2^2 h_2}{( \frac{1}{3})\pi r_1^2 h_1}=\frac{96}{12}$

$\Rightarrow (\frac{r_2}{r_1})^2\times( \frac{h_2}{h_1})=8$

$\Rightarrow k^3=2^3$

$\Rightarrow k^3=8$

$\Rightarrow k=2$

$\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=2\Rightarrow r_2=2r_1$

较小圆锥的曲面面积

$=\pi r_1( \sqrt{r_1^2 + h_1^2})=15\pi$

较大圆锥的曲面面积

$=\pi r_2( \sqrt{r_2^2 + h_2^2})$

$=\pi ( 2r_1)( \sqrt{(2r_1)^2 +(2h_1)^2})$

$=2\pi r_1\times2(\sqrt{r_1^2 + h_1^2})$

$=4\pi r_1(\sqrt{r_1^2 + h_1^2})$

$=4\times15\pi$

$=60\pi$ 平方单位

因此，较大圆锥的曲面面积为 $60\pi$ 平方单位。

教程点

更新于：2022年10月10日

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