使用与非门实现全减器

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在数字电子技术中，减法器是一种组合逻辑电路，用于执行两个二进制数的减法运算。然而，二进制数的减法可以通过采用1的补码或2的补码的方法，使用加法器电路来实现。但是，我们也可以实现一个专门的电路来执行两个二进制数的减法。

在两个二进制数的减法中，被减数的每个位都减去其对应位的减数位，以形成差位。在减法过程中，如果被减数位小于减数位，则从下一位借位1。根据输入位的数量，减法器有两种类型，即半减器和全减器。

半减器是一种接收两个二进制数作为输入，并输出差位和借位（如果有）的电路。另一方面，全减器是一种接收三个位作为输入的电路，即两个输入位和一个来自前一级的输入借位，并输出差位和输出借位。

由于减法器是一种组合逻辑电路，即它是由逻辑门组成的。我们可以使用不同类型的逻辑门（如与门、或门、非门、与非门、或非门等）来实现全加器电路。在本文中，我们将讨论使用与非门实现全减器。但在那之前，让我们先了解一下全减器的基础知识。

什么是全减器？

全减器是一种组合电路，具有三个输入 A、B、bin 和两个输出 d 和 b。其中，A 是被减数，B 是减数，bin 是前一级的借位，d 是差输出，b 是借位输出。全减器的框图如图1所示。

全减器的真值表

以下是全减器的真值表：

输入			输出
A	B	bin	d（差）	b（借位）
0	0	0	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	1	0	0	0
1	1	1	1	1

从此表中，我们可以确定差位 (d) 和借位输出 (b) 的方程。这些方程如下：

全减器的差 (d) 为：

$$\mathrm{Difference,\, d=A'B'b_{in}+AB'b'_{in}+A'Bb'_{in}+ABb_{in}=A\oplus B\oplus b_{in}}$$

全减器的输出借位 (b) 由下式给出：

$$\mathrm{Borrow,\, b=A'B'b_{in}+A'Bb'_{in}+A'Bb_{in}+ABb_{in}}$$

现在，让我们讨论一下使用与非门实现全减器。

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使用与非门实现全减器

我们可以仅使用与非门来实现全减器电路，如图2所示。

从使用与非逻辑实现的全减器的逻辑电路中，我们可以看到，在与非逻辑中实现全减器需要9个与非门。

全减器在与非逻辑中的差位 (d) 和输出借位 (b) 的输出方程如下：

差位 (d)

$$\mathrm{Difference,\, d=\overline{\overline{(A\oplus B)\cdot \overline{(A\oplus B)b_{in}}}\cdot \overline{b_{in}\cdot \overline{(A\oplus B)b_{in}}}}=A\oplus B\oplus b_{in}}$$

其中，

$$\mathrm{A\oplus B=\overline{\overline{A \cdot\overline{AB}}\cdot \overline{B \cdot\overline{AB}}}}$$

借位 (b)

$$\mathrm{Borrow,\, b=\overline{\overline{B \cdot\overline{AB}}\cdot \overline{b_{in} \overline{[b_{in}\cdot (A\oplus B)]}}}=\overline{A}B+b_{in}(\overline{A\oplus B})}$$

这样，我们就可以仅使用与非门来实现全减器。