使用NOR门实现SOP形式的逻辑函数

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在深入了解如何仅使用NOR门实现SOP形式的逻辑函数或布尔表达式之前，让我们先从SOP形式和NOR门的某些基本知识开始。

SOP形式

SOP形式代表**积之和形式**。SOP形式是一种将布尔表达式表示为积项之和的形式。

例如，

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=AB+ABC+B\overline{C}}$$

这是一个用SOP（积之和）形式表示的布尔函数。

NOR门

**NOR门**是一种通用逻辑门，即NOR门可用于实现任何其他类型的逻辑门或逻辑函数。

NOR表示NOT + OR。这意味着OR的输出被取反或反转。因此，NOR门是OR门和NOT门的组合，即

$$\mathrm{NOR Gate = OR Gate + NOT Gate}$$

NOR门是一种逻辑门，只有当所有输入都为低电平（逻辑0）时，其输出才为高电平（逻辑1），即使任何输入变为高电平（逻辑1），它也会输出低电平（逻辑0）。双输入NOR门的逻辑符号如图1所示。

这里，A和B是NOR门的输入变量，Y是NOR门的输出变量，则NOR门的输出由下式给出：

$$\mathrm{Y=\overline{A+B}=\lgroup A+B\rgroup'}$$

它读作“Y等于A加B的整体取反”。

可以通过真值表理解NOR门的操作。以下是NOR门的真值表：

输入		输出
A	B	Y = (A+B)'
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

德摩根定理

使用NOR门实现SOP形式的布尔函数需要了解布尔代数的德摩根定理。

德摩根定理有两个定律，如下所示：

**定律1** - 根据德摩根定理的第一定律，变量的逻辑或运算的补码等价于变量的逻辑与运算的补码形式，即

$$\mathrm{\overline{A+B+C}=\overline{A}. \overline{B}.\overline{C}}$$

**定律2** - 德摩根定理的这条定律指出，变量的逻辑与运算的补码等价于变量的逻辑或运算的补码形式，即

$$\mathrm{\overline{A.B.C}=\overline{A}+ \overline{B}+\overline{C}}$$

因此，我们已经讨论了使用NOR门仅实现SOP形式的逻辑表达式的所有基本概念。现在，让我们讨论如何使用NOR门实现SOP形式的逻辑函数。

使用NOR门实现SOP形式的逻辑函数

SOP（积之和）形式的布尔函数或逻辑函数可以使用NOR门来实现。要使用NOR门实现SOP表达式，我们首先需要将给定的逻辑函数转换为可以使用NOR门实现的形式。为此，需要遵循以下步骤：

**步骤1** - 对给定的布尔或逻辑函数进行双重取反。

例如，考虑以下布尔函数：

$$\mathrm{Y=AB+BC}$$

取双重取反后，得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= \overline{\overline{AB+BC}}}$$

**步骤2** - 通过首先应用德摩根定理的第一定律，将逻辑或运算转换为逻辑与运算，即

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= \overline{\overline{AB}.\overline{BC}}}$$

**步骤3** - 将积项转换为和项，使用德摩根的第二定理，即

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= \overline{\lgroup\overline{A}+\overline{B}\rgroup. \lgroup\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

**步骤4** - 将剩余的与运算转换为或运算，使用德摩根的第二定理，即

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= \overline{\lgroup\overline{A}+\overline{B}\rgroup}+ \lgroup\overline{\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

这是可以使用NOR门实现的布尔函数的形式。

**步骤5** - 最后，确定实现表达式所需的NOR门数量，并根据逻辑函数连接它们以获得逻辑电路。

现在，让我们讨论一些已解决的示例，以更深入地理解这个概念。

示例1

使用NOR门实现以下SOP形式的逻辑函数。

$$\mathrm{Y=AB+ABC+BC}$$

解决方案

给定的逻辑函数为：

$$\mathrm{Y=AB+ABC+BC}$$

对函数进行双重取反，得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}= Y=\overline{\overline{AB+ABC+BC}}}$$

应用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A+B+C}= \overline{A}.\overline{B}.\overline{C}\rgroup}$，得到：

$$\mathrm{Y=\overline{ \overline{AB}.\overline{ABC}. \overline{BC}}}$$

使用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A.B.C}= \overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$，我们有：

$$\mathrm{Y=\overline{\lgroup\overline{A}+ \overline{B}\rgroup.\lgroup\overline{A} +\overline{B}+\overline{C}\rgroup. \lgroup\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

再次使用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A.B.C}= \overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$，得到：

$$\mathrm{Y=\overline{\lgroup\overline{A}+ \overline{B}\rgroup}+\overline{\lgroup\overline{A} +\overline{B}+\overline{C}\rgroup}+ \overline{\lgroup\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

因此，这是可以使用NOR门实现的给定逻辑函数的形式。图2显示了使用NOR门实现此SOP形式的逻辑函数Y。

**注意** - A'与A̅相同。

示例2

使用NOR门实现以下SOP形式的逻辑函数。

$$\mathrm{Y=A\overline{B}+B\overline{C}+ABC}$$

解决方案

给定的逻辑函数为：

$$\mathrm{Y=A\overline{B}+B\overline{C}+ABC}$$

由于给定形式的函数无法使用NOR门实现。因此，我们首先将其转换为可以使用NOR门实现的形式，如下所示：

对两边进行双重取反，得到：

$$\mathrm{\overline{\overline{Y}}=Y=\overline{\overline{A\overline{B}+B\overline{C}+ABC}}}$$

使用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A+B+C}= \overline{A}.\overline{B}.\overline{C}\rgroup}$，得到：

$$\mathrm{Y=\overline{\overline{A\overline{B}}.\overline{B\overline{C}}.\overline{ABC}}}$$

再次应用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A.B.C}= \overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$将与运算转换为或运算，即

$$\mathrm{Y=\overline{\lgroup\overline{A}+B\rgroup.\lgroup\overline{B}+C\rgroup.\lgroup\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}}$$

再次应用德摩根定理$\mathrm{\lgroup\overline{A.B.C}= \overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$将与运算转换为或运算，即

$$\mathrm{Y=\lgroup\overline{\overline{A}+B}\rgroup+\lgroup\overline{\overline{B}+C}\rgroup+\lgroup\overline{\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}}\rgroup}$$

这是可以使用NOR门实现的给定逻辑函数的形式。现在，确定NOR门的数量，并根据逻辑表达式连接它们以获得函数的逻辑实现。图3显示了使用NOR门实现给定SOP形式的逻辑函数。

结论

这就是使用NOR门实现SOP形式的逻辑函数的全部内容。从以上讨论中，我们可以得出结论，SOP形式的逻辑函数不能直接使用NOR门实现，但需要先将其转换为可实现的形式。然后，将NOR门连接在一起以实现所需的逻辑函数。